「学习笔记」快速幂

快速幂

时间复杂度

极大地加快了计算某数的某次幂的速度，能把朴素的 $O(n)$ 优化为 $O(\log_2n)$ 。

原理

求 $x^y$，把 $y$ 转成二进制，取每一位来进行运算
例如需求 $6^3$，则把 $3$ 转为二进制，也就是 $0011$，取数出来的话就可得 $2^0 \times 1 + 2^1 \times 1.$
$∴$ $6^3=6^{(2^0 \times 1)} \times 6^{(2^1 \times 1)}.$
以上。

程序实现

pascal model

function quick_power(x,y:longint):longint;
Var res,temp,i:longint;
Begin
        res:=1;
        temp:=x;
        i:=y;
        while i>0 do
        Begin
                if (i and 1>0) then
                Begin
                        res:=res*temp;
                end;
                temp:=sqr(temp);
                i:=i>>1;
        end;

        exit(res);
end;

c++ model

long long quick_power(long long x,long long y) {
	long long res=1,temp=x;
	for (register long long i=y;i;temp*=temp,i>>=1) {
		if (i&1) {
			res*=temp;
		}
	}
	
	return res;
}

例题

有道难题

Description
　　从前有个人，叫好人。他非常擅长解决数学问题。今天他正在做这样的一道数学题：
　　给定三个正整数X, Y和Z（X < Y, Z > 1）满足
　　　　X ^ Z + Y ^ Z + X * Y * Z = K
　　其中K是另一个给定的正整数，“\*”是乘法，“\^”表示乘幂运算，如2^3表示2的3次方，即2\*2\*2。
　　找出该问题的一个解方案对好人来说是非常简单的事。现在，他想继续挑战一下：该等式总共有多少组不同的解方案呢？
　　意外的是，这个好人居然做不出来。看来，这是一道难题。现在，是你的show time了。

Input
　　输入包含多组数据。
　　对于每组数据，只有一个整数K。
　　当K = 0时表示输入结束。

Output
　　对每组数据，输出一行，仅包含一个整数，表示解方案的个数。

Sample Input
9
53
6
0

Sample Output
1
1
0

$100pts\ code:$

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using  namespace std;

ll pow(ll x,ll y) {
	ll res=1,temp=x;
	for (register ll i=y;i;temp*=temp,i>>=1) {
		if (i&1) {
			res*=temp;
		}
	}
	
	return res;
}

ll check(ll x,ll y) {
	ll res=1;
	for(;pow(res,y)<=x;res++);
	
	return res-1;
}

int main() {
	ll k;
	scanf("%lld",&k);
	while (k) {
		ll tot=0;
		for (register ll z=2;z<31;z++) {
			ll y=check(k,z);
			for (register ll x=1;x<y;x++) {
				for (;x<y and pow(x,z)+pow(y,z)+x*y*z>k;y--);
				if (x<y and pow(x,z)+pow(y,z)+x*y*z==k) {
					tot++;
				}
			}
		}
		
		printf("%lld\n",tot);
		
		scanf("%lld",&k);
	}
	
	return 0;
}