「学习笔记」树链剖分

轻重链剖分

树链？剖分？

树链剖分，顾名思义是把一棵树剖分成若干条链。
轻重链剖分满足每个结点属于且只属于一条重链。

首先引出概念：

名称	概念
重儿子	父结点的子树结点数量最多的子结点
轻儿子	父结点中除了重儿子以外的儿子
重边	连接父结点和重儿子的边
轻边	连接父结点和轻儿子的边
重链	若干条重边连接而成的路径
轻链	若干条轻边连接而成的路径

现在有一棵树，对于该树，从根结点开始寻找重儿子，并且其重儿子也向下寻找重儿子，最终这些重边连成一条重链。而根结点其他的儿子（即轻儿子）也各自寻找自己的重儿子，使得整棵树分成若干条重链。


实现
剖分的过程由两个dfs实现。

名称	解释
fa[u]	结点u的父结点
dep[u]	结点u的深度
size[u]	以结点u为根的子树的结点数目
son[u]	结点u的重儿子
rk[u]	结点u的dfs标号在树中所对应的结点
top[u]	结点u所在链的顶端结点
id[u]	结点u的dfs序

$\large\mathcal{1.}$
标记每个结点的 father,dep,size，并找出每个结点的重儿子。

void dfs1(int u , int father , int depth) {
	fa[u] = father;//记录父结点 
	dep[u] = depth;//记录深度
	size[u] = 1;//将当前子树size标记为1
	
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) { 
		if (edge[i].to != father) {
			dfs1(edge[i].to , u , depth+1);//深度++ 
			
			size[u] += size[edge[i].to];//更新父结点的 size 
			
			if (size[edge[i].to] > size[son[u]]) { 
				son[u]=edge[i].to;//选取size最大的子结点作为重儿子 
			} 
		}
	}
}

调用:

dfs1(root , 0 , 1)

$\large\mathcal{2.}$
连接重链，标记dfs序，处理出数组top,id,rk。

void dfs2(int u , int t) {
	top[u] = t;//通过标记当前链的链首来连接重链
	id[u] = ++cnt;//记录dfs序
	rk[cnt] = u;//记录dfs序指向的节点
	
	if (!son[u]) return;
	
	dfs2(son[u] , u);//优先延伸重链，使同一条重链上的dfs序连续
	
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
		if (edge[i].to != son[u] && fa[u]) {
			dfs2(edge[i].to , edge[i].to);
		}
	}
}

时间复杂度

树链剖分的两个性质：

• 如果(u, v)是一条轻边，那么 $\mathcal{size(v)<size(u)÷2}$;
• 从根结点到任意结点的路所经过的轻重链的个数必定都小于 $\log n$.

可得，树链剖分的时间复杂度为 $O(n\log^2n)$ 或者写做…… $O(n(\log n)^2)$。
显然是一种优秀的算法。