「学习笔记」树的直径

树的直径

定义

树的直径为树上最长的路径 $\delta (u,v) \ ( u,v \in V ).$

实现

可先从任意一点 $a$ 出发，找离它最远的点 $b$，再从点 $b$ 出发，找离它最远的点 $c$，$\delta(b,c)$ 即为树的直径。

证明如下：

• 若 $a$ 已经在直径上，可知 $b$ 也在直径上且为直径的一个端点;
• 若 $a$ 不在直径上，用反证法进行证明。
  假设此时 $\delta(b,c)$不是直径，$\delta(p,q)$ 是直径，
  • 若 $\delta(p,q)$ 与 $\delta(a,b)$ 有交点 $c$，由于 $a$ 到 $b$ 距离是最远的，那么 $\delta(a,c)+\delta(b,c)>\delta(a,c)+\delta(c,p)$，故 $\delta(b,c)>\delta(c,p)$，由此可得 $\delta(b,c)+\delta(c,q)>\delta(c,p)+\delta(c,q)$，即 $\delta(b,q)>\delta(p,q)$，与 $\delta(p,q)$ 是直径矛盾，故不成立;
  • 若 $\delta(p,q)$ 与 $\delta(a,b)$ 无交点，$m,n$ 分别为 $\delta(p,q)$ 和 $\delta(a,b)$ 上一点。可得 $\delta(a,n)+\delta(b,n)>\delta(b,n)+\delta(m,n)+\delta(m,q)$，同时减掉 $\delta(b,n)$，得 $\delta(a,n)>\delta(m,n)+\delta(m,q)$，可得 $\delta(a,n)+\delta(m,n)>\delta(m,q)$ ，同时加上 $\delta(m,p)$ 得 $\delta(a,n)+\delta(m,n)+\delta(m,p)>\delta(m,q)+\delta(m,p)$，即 $\delta(a,n)+\delta(m,n)+\delta(m,p)>\delta(p,q)$ ，与 $\delta(p,q)$ 是直径矛盾，故也不成立。

得证。

code:

//求路径
void dfs(int x , int father) {
	for (r_ int i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
		int u=edge[i].to;
		
		if (u==father) continue;
		
		fa[u]=x;
		dis[u]=dis[x]+edge[i].data;
		
		dfs(u , x);
	}
}

int main() {
	read(n);
	for (r_ int i=1; i<n; i++) {
		ll x , y , z;
		read(x , y , z);
		add(x , y , z); add(y , x , z);
	}
	
	//处理两遍路径得出树的直径
	dfs(1 , 0);
	
	for (r_ int i=1; i<=n; i++) {
		if (dis[i]>Max) {Max=dis[i]; s=i;}
		dis[i]=0;
	}
	
	dfs(s , 0);
	
	Max=-0x7FFFFFFF;
	for (r_ int i=1; i<=n; i++) {
		if (dis[i]>Max) {Max=dis[i]; t=i;}
	}
	
	return 0;
}

例题：SDOI2013「直径」Solution