【算法】求 x 的平方根

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题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

• 0 <= x <= 231 - 1

解法一：二分查找

当 x=0 时，返回 0；

当 left > right 时，循环结束，此时，left ** 2 > x，right ** 2 <= x，所以返回 right。

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        left, right= 1, x
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            # 避免乘法溢出，改用除法
            if mid <= x / mid:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        return right

解法二：牛顿迭代

牛顿迭代法能快速求解函数零点的近似值。

假设 X 是待求平方根的整数，X的平方根就是函数

\[f(x) = x^2-X \]

的零点。

而我们可以用牛顿迭代法快速逼近函数零点。

因为 \(f'(x)=2x\)，所以

\[\begin{align} x_{k+1} &= x_k - \frac{x_k^2-X}{2x_k} \\ &= \frac{1}{2}(x_k+\frac{X}{x_k}) \end{align} \]

class Solution:
    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        res = x
        while res * res > x:
            res = (res + x // res) // 2
        return (int)res