【算法】二分查找——在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

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题目描述

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

• 0 <= nums.length <= 105
• -109 <= nums[i] <= 109
• nums 是一个非递减数组
• -109 <= target <= 109

解法一

做两个二分查找。

第一个二分查找是为了找到开始位置：找到 nums[mid] == target 的地方，令 start = mid，然后继续在左区间进行查找有没有目标值，即 right = mid - 1。

第二个二分查找是为了找到结束位置：找到 nums[mid] == target 的地方，令 end = mid，然后继续在右区间进行查找有没有目标值，即 left = mid + 1。

class Solution:
    def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        left, right = 0, len(nums) - 1
        start, end = -1, -1
        # find start
        while left <= right:
            mid = left + (right-left) // 2
            if nums[mid] == target:
                start = mid
                right = mid - 1
            elif nums[mid] > target:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        
        # find end 
        left, right = 0, len(nums) - 1
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if nums[mid] == target:
                end = mid
                left = mid + 1
            elif nums[mid] > target:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        
        return [start, end]

解法二

在左闭右闭区间做两个二分查找。

第一个二分查找是为了找到第一个大于等于目标值的位置，如果 nums[mid] < target 则在右半区间查找，否则在左半区间查找，如此操作能保证 nums[left - 1] 始终是小于目标值，nums[right + 1] 始终是大于等于目标值。当left > right 时循环结束，此时 left = right + 1，而 nums[left - 1] 小于目标值，nums[left] 大于等于目标值，如果 nums[left] == target，就找到了开始位置。注意：不要忘了检查是否越界。

第二个二分查找是为了找到第一个大于目标值的位置，可以把问题转为查找 target + 1 的开始位置，过程就同第一个二分查找。

class Solution:
    def lower_bound(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left, right = 0, len(nums) - 1
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if nums[mid] < target:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        return left

    def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        start = self.lower_bound(nums, target)
        if start == len(nums) or nums[start] != target:
            return [-1, -1]
        # 如果 start 存在，那么 end 必定存在
        end = self.lower_bound(nums, target + 1) - 1
        return [start, end]