裴蜀定理

一、定理

裴蜀定理是指方程ax + by = m当且仅当m是a和b的最大公因数d的倍数时，方程有整数解

特别的，只有a和b互质时，ax + by = 1才有整数解

二、证明

证明方法如下

设存在x,y，满足ax + by为正数最小值d。任选m,n不等于x,y，此时am + bn为e，则e≥d。

e=p*d+r（p为商，r是余数），则r＜d

那么r=e-p*d=am+bn-p*(ax+by)=(m-px)*a+(n-py)*b

则有m-px和n-py满足比d更小的值r，r只能为0

所以e是d的倍数

则a一定是e的倍数

同理b一定是e的倍数

所以正数最小值d就是a和b的最大公因数，证毕。