简单背包

01背包

问题模型
n种物品，每种物品有1个，
放入容量为m的背包中，每个物品有体积v[i]和价值w[i]
求放入背包的最大价值
基本方法

n表示物品总数，m表示背包容量，v[]表示物品体积，w[]表示物品价值

f[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包能获得的最大价值

f[i][j]=max(f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j]);

边界：f[0][j]=0

解：f[n][m]

降维

	0	1	2	...
0	0	0	0	0
1	x	x	x	x
2	x	x	x	x
3	x	x	x	x
...	...	...	...	...
j

参考代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=m;j>=v[i];j--){
        if(f[j-v[i]]+w[i]>f[j])
            f[j]=f[j-v[i]]+w[i];
    }
}

完全背包

问题模型
n种物品，每种物品有无数个，
放入容量为m的背包中，每个物品有体积$v[i]$和价值$w[i]$
求放入背包的最大价值

方法1

伪代码：

//边界是f[0][j]=0
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        for(int k=0;k<=j/v[i];j++){
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);
        }
    }
}
//解是f[n][m]

时间复杂度很高!

方法2
边界和解都一样
f[i][j]的定义还一样
此时考虑不选或者至少选一个：

不选的状态就是f[i-1][j]
选的话，先选一个再说：f[i][j-v[i]]+w[i]
第二种情况，如果真的某个物品只选1个会不会出问题呢？
不会的，因为如果真的第i个物品只选一个，则f[i][j-v[i]]=f[i-1][j-v[i]]，f[i][j]包含了f[i-1][j]，不会出问题

综上所述，f[i][j]=\max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
伪代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i-1][j]/*不选*/,f[i][j-v[i]]+w[i]/*选至少一个*/);
        else
            f[i][j]=f[i-1][j];
        }
    }
}

降了一层循环，真NICE！

	0	1	2	...
0	0	0	0	0
1	x	x	x	x
2	x	x	x	x
3	x	x	x	x
...	...	...	...	...
j

降维
研究表格，发现可以降维：
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
参考代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=v[i];j<=m;j++){
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

多重背包

问题模型
n种物品，每种物品有c[i]个，
放入容量为m的背包中，每个物品有体积$v[i]$和价值$w[i]$
求放入背包的最大价值
基本方法
f[i][j]的定义不变
c[i]表示第i个物品有多少个
伪代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        for(int k=0;k<=min(c[i],j/v[i]);k++){
            f[i][j]=max(f[i-1][j-k*v[i],k*w[i]);
        }
    }
}

降维

	0	1	2	...
0	0	0	0	0
1	x	x	x	x
2	x	x	x	x
3	x	x	x	x
...	...	...	...	...
j

参考代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=m;j>=0;j--){
        for(int k=0;k<=min(c[i],j/v[i]);k++){
            if(f[j-k*v[i]]+k*w[i]>f[j])
                f[j]=f[j-k*v[i]]+k*w[i];
        }
    }
}

解法二——转01背包
第i种物品有c[i]个，可以转化成c[i]中物品，每种物品有$1$个
这样将多重背包转成了01背包
参考代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int k=1;k<=c[i];k++){//k从1开始，易错
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            if(f[j-v[i]]+w[i]>f[j])
                f[j]=f[j-v[i]]+w[i];//注意这里是01背包的状态转移方程
        }
    }
}

注意：只能在选同种物品时价值不受物品选的个数的限制时使用

混合背包

有些物品只能选1个，有些物品只能选c[i]个，有些物品能选无数个
因为所有的背包的边界、解和定义都一样，所以可以根据具体的数量规定具体的状态转移方程
参考代码：

//c[i]=0表示有无数个
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        if(c[i]==1){//01背包
            if(j>=c[i])
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            else
                f[i][j]=f[i-1][j];
        }
        else if(c[i]==0){//完全背包
            if(j>=c[i])
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            else
                f[i][j]=f[i-1][j];
        }
        else{//混合背包
            for(int k=0;k<=min(c[i],j/v[i]);k++)
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
        }
    }
}

降维也要根据不同的背包问题，选择不同的方式

//c[i]=0表示有无数个
for(int i=1;i<=n;i++){
    if(c[i]==1){//01背包
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    else if(p[i]==0){//完全背包
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    else{
        for(int j=m;j>=0;j--){//多重背包
            for(int k=0;k<=min(c[i],j/v[i]);k++)
                f[j]=max(f[j],f[j-k*c[i]]+k*w[i]);
        }
    }
}

第二种方式
其实，因为背包容量最大也只能是m，所以理论上能选无数个的物品最多也只能选m/v[i]个
01背包可以看成c[i]=1的多重背包
这样，我们可以将三种背包都变成多重背包
模板代码略

恰填满背包的方案总数

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数
对于这类问题，一般只需要将状态转移方程中的max改成sum，再将边界稍作修改即可

基本方法
f[i][j]表示将前i件物品恰填满容量为j的背包的方案总数

01背包的状态转移方程是$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-v[i]];
完全背包的状态转移方程是$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-v[i]];
多重背包的状态转移方程是$f[i][j]=\sum_{k=0}^{\min(c[i],j/v[i])}f[i-k\cdot v[i]];
边界：f[0][0]=1

思考

在01背包达到最优解时，输出最优解中所有选中物品的编号

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define MAXN 10010
#define MAXM 10010
//分开定义MAXN和MAXM表示这个数组的大小跟n和m中的哪一个有关 
using namespace std;
int n,m,v[MAXN],w[MAXN],f[MAXM];
bool g[MAXN][MAXM];
void DFS(int x,int y){
    if(x==0)
    return;
    if(g[x][y]){
        DFS(x-1,y-v[x]);
        printf("%d ",x);
    }
    else{
        DFS(x-1,y);
    }
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){//降维 
            if(f[j-v[i]]+w[i]>f[j]){
                f[j]=f[j-v[i]]+w[i];
                g[i][j]=true;
            }
        }
    }
    printf("物品最大价值：%d\n选的物品：",f[m]);
    DFS(n,m);//挨个输出物品 
    return 0;
}

恰填满背包的最小物品数

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的最小物品数量

基本方法
f[i][j]表示将前i件物品恰填满容量为j的背包的最小物品数

01背包的状态转移方程是f[i][j]=\min(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+1);
完全背包的状态转移方程是f[i][j]=\min(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+1);
多重背包的状态转移方程是f[i][j]=\min(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k);其中0 <= k <= min(c[i],j/v[i])
边界：f[0][i]=0x3f3f3f3f,f[0][0]=1

posted on 2022-06-28 18:40 阳光快乐9698 阅读(38) 评论(0) 收藏举报