arc小记

ARC178C

妙妙题

先把 \(B\) 从小到大排序化掉绝对值，假定 \(B_1=0\)。设 \(C\) 为 \(B\) 的差分序列（即 \(\forall i \in [1,n),C_i=B_{i+1}-B_i\)），发现 \(\max(B_i)=B_L=\sum_{i=1}^{L-1}C_i\)。

考虑拆贡献把题目中的式子化成 \(\sum_{i=1}^{L-1}i(L-i)(B_{i+1}-B_i)\)，把它看作一个无限背包：共有 \(L-1\) 中物品，每种物品价值为 \(i(L-i)\)，价值为 \(1\)，求背包大小为 \(A_x\) 的最小价值，直接 \(\tt{DP}\) 就做完了。

因为 \(i(L-i) \leq \max(A_i)\)，所以 \(i\) 是 \(\sqrt{\max(A_i)}\) 级别的，即 \(\tt{DP}\) 时间复杂度是 \(O(\max(A_i)\sqrt{\max(A_i)})\)。

ARC176C

遇到没啥头绪的题目不要着急，一步一步来

对限制建图方便思考，考虑按边权从小到大做，分类讨论出一个点必须要填的值或可以填值的上界，最后按上界从小到大照着限制动态维护当前可选几个数乘上去即可。

时间复杂度 \(O(n+m)\)。

ARC156C

情商考验题

手玩一下可以猜到相似值最小是 \(1\)，但是要证明！考虑从极长路径入手，也就是两个叶子结点间的路径，设两个叶子结点 \(u\) 和 \(v\)，考虑使他们的权值分别为对方，即 \(p_u=v\)，\(p_v=u\)。每次确定完两个叶子结点后将他们删掉，不断重复此过程。

\(u\) 要是想出现在 \(\tt{LCS}\) 中，必然包含了 \((u,v)\) 路径上的所有节点，其他节点值没有确定先不做考虑。\(u\) 子树的所有点在路径序列出现的位置在 \(u\) 之前，在权值序列出现的位置在 \(u\) 之后，不可能与 \(u\) 一起作为 \(\tt{LCS}\) 的一部分。

时间复杂度模拟是 \(O(n^2 \log n)\)，类拓扑序做是 \(O(n)\)，而且十分好写。