Your Name 题解

Problem

给定一个数 \(n\)，求 \(1\) 到 \(n\) 的约数个数和。

Solution

\(\text{40pts}\)：
使用一个 for 枚举 \(n\) 以内的数的所有约数，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

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for(int i=1;i<=n;++i){
	for(int j=1;j<=i;++j) if(i%j==0) ans++;
}

\(\text{70pts}\)：
因为约数关于根号对称分布，所以可以根号枚举一个数的约数，时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)。

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for(int i=1;i<=n;++i){
	for(int j=1;j*j<=i;++j){
		if(i%j==0&&j*j!=i) ans+=2;
		if(j*j==i) ans++;
	}
}

\(\text{100pts}\)：
考虑将问题转化为 \([1,n]\) 区间内每一个数有多少个倍数 \(\leq n\)。

那么如何计算一个数 \(i\) 在 \(n\) 以内有多少个倍数呢？

设 \(n\) 以内为 \(i\) 的最大倍数的数为 \(i \times k\)，也就是说，\(n\) 以内有 \(k\) 个 \(i\) 的倍数。

因为 \(k=i \times k \div i\)，所以考虑求出 \(i \times k\)。

因为在 C++ 语言中，整数除法是自动向下取整的，即小学数学中的“去尾”，所以在本题中，n/i 等同于 i*k/i。一个 for 枚举即可，时间复杂度 \(O(n)\)。

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for(int i=1;i<=n;++i){
	ans+=n/i;
}