【莫反】CF900D Unusual Sequences 做题记录

从一个 dp 题单点进去的，往 dp 上想了半天，啥都没想出来，看了个题解，发现可以莫反做，于是重新思考。

先考虑无解的情况，很明显，\(x \nmid y\) 时，是不存在合法的构造的。往简化的方向走，设 \(sum=y \div x\)，那么题目可以转化为满足 \(\sum_{i=1}^{n}a_i=sum\) \(\gcd(a_1,a_2,a_3,...,a_n)=1\) 的数列的个数。考虑设 \(g(x)\) 为 \(\sum_{i=1}^{n}a_i=x\) 的个数，考虑使用隔板法求 \(g(x)\)：

\[g(x)=\sum_{i=1}^{n}\binom{x-1}{i-1}=2^{x-1} \]

设 \(f(x)\) 为满足 \(\sum_{i=1}^{n}a_i=x\) \(\gcd(a_1,...,a_n)=1\) 的数列个数，根据反演，\(g(x)=\sum_{d \mid x}f(d)\)，那么：

\[f(x)=\sum_{d \mid x}g(\frac{x}{d})\mu(d) \]

显然，本题答案为 \(f(sum)\)。

\(Code\)

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/*
	考虑无解，当y%x!=0时无解
	考虑设gcd为1，隔板法求方案数
	考虑莫反
	容斥是什么神仙做法/fad 
	线性筛复杂度达到了1e9
	似乎会T
	考虑求单个 
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
#define mod (int)(1e9+7)

inline int mu(int x){
    int prid=0;
    int sq=0;
    for(int i=2;i*i<=x;++i){
        if(x%i) continue;
        sq=0;
        prid++;
        while(x%i==0){x/=i;sq++;}
        if(sq>=2) return 0;
    }
    x==1?:prid++;
    return (prid&1)?mod-1:1;
}

inline int qpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%mod;
		b>>=1;a=a*a%mod;
	}
	return res;
}

signed main(){
	int x,y,ans=0;
	scanf("%lld %lld",&x,&y);
	if(y%x) return puts("0"),0;
	int n=y/x;
	for(int i=1;i*i<=n;++i){
		if(!(n%i)){
			ans=(ans+qpow(2,i-1)*mu(n/i)%mod)%mod;
			if(i*i!=n) ans=(ans+qpow(2,n/i-1)*mu(i)%mod)%mod;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0; 
}