CF1716F Bags with Balls 题解

每个袋子有 $\left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil $ 个奇数编号的球，有 $\left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor $ 个偶数编号的球，综合一下题意，可以发现此题实际是在求：

\[\sum_{i=0}^{n}i^k \binom{n}{i} \left ( \left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil \right )^i \left ( \left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor \right )^{n-i} \]

首先考虑处理式子中的 \(i^k\)，我们可以利用第二类斯特林数将常幂展开为下降幂求和的方法：

\[i^k=\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} k\\j \end{Bmatrix}j!\binom{i}{j} \]

\[=\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} k\\j \end{Bmatrix}i^{\underline j} \]

代入原式：

\[\sum_{i=0}^{n}i^k \binom{n}{i} \left ( \left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil \right )^i \left ( \left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor \right )^{n-i} \]

\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} k\\j \end{Bmatrix}i^{\underline j}\binom{n}{i} \left ( \left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil \right )^i \left ( \left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor \right )^{n-i} \]

因为

\[\binom{n}{i}i^{\underline j}=\binom{n-j}{i-j}n^{\underline j} \]

所以式子又可以化成：

\[=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} k\\j \end{Bmatrix}\binom{n-j}{i-j}n^{\underline j} \left ( \left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil \right )^i \left ( \left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor \right )^{n-i} \]

注意到

\[\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} k\\j \end{Bmatrix} n^{\underline j} \]

这个部分与 \(i\) 并没有关系，所以可以把这部分提到前面：

\[\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} k\\j \end{Bmatrix} n^{\underline j}\sum_{i=0}^{n}\binom{n-j}{n-i} \left ( \left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil \right )^i \left ( \left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor \right )^{n-i} \]

最后，我们可以用二项式定理化到最简，最简式子：

\[\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix} k\\j \end{Bmatrix}n^{\underline j}\left ( \left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil \right ) ^j m^{n-j} \]

综上，我们可以 \(O(k^2)\) 递推第二类斯特林数，单次查询 \(O(k)\)，足以通过此题。

递推代码：

stir[0][0]=1;
for(int i=1;i<=2000;++i){
	for(int j=1;j<=i;++j) stir[i][j]=(stir[i-1][j-1]+stir[i-1][j]*j%mod)%mod;
}

查询代码：

inline ll qpow(ll a,ll b){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%mod;
		b>>=1;a=a*a%mod;
	}
	return res;
}
inline void solve(){
	ll n,m,k;
	cin>>n>>m>>k;
	ll ans=0;
	ll base=qpow(m,n),inv=qpow(m,mod-2);
	for(int i=1;i<=min(n,k);++i){
		base=base*(n-i+1)%mod*((m+1)/2)%mod*inv%mod;
		ans=(ans+base*stir[k][i]%mod)%mod;
	}
	cout<<ans<<'\n';
}