ARC145做题笔记

传送门

A

清新结论题，可我被罚了两发（

很明显，操作改变不了第一个和最后一个字母，所以，如果第一个字母与最后一个字母，那这个字符串肯定最终可以回文。

因为是将相邻两个字母变成 AB，所以只要第一个字母是 B，那字符串最后也能变成回文。

注意：如果字符串只有两个字符，那么需要特判。

\(Code\)

#include <cstdio>

using namespace std;

#define N (int)(2e5+10)

char s[N];

int main(){
	int n;
	scanf("%d %s",&n,s+1);
	bool flg=1;
	if(s[1]=='A'){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(s[i]!=s[n-i+1]) flg=0;
		}
		if(s[1]==s[n]) flg=1;
	}
	if(n==2&&s[1]!=s[n]) flg=0;
	puts(flg?"Yes":"No");
	return 0;
}

B

结论很明显，答案是

\[\sum_{i=a}^{n}[i \bmod a < b] \]

这个式子如果是 \(1\) 到 \(n\) 的形式可以利用模的性质 \(O(1)\) 处理，然后容斥一下答案就做完了。

\(Code\)

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define ll long long

ll n,a,b;

inline ll f(ll x){
	return (x/a)*min(a,b)+min(x%a,b-1);
}

int main(){
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&a,&b);
	printf("%lld",max(f(n)-f(a-1),0ll));
	return 0;
}

C

看到排列直接想阶乘，考虑分个左右，猜了一波感觉和卡特兰数有点关系，好像可以直接暴力然后 OEIS 的

可以分成 \(n\) 对来使权值最大，总共有 \(n!\) 对配对，按照上文将配对分左右，那么合法数量是 \(\frac {\operatorname{C}_ {n}^{2n}}{n+1}\)，也就是卡特兰数，有 \(2^n\) 种方法决定配对左元素，总的排列是 \(n!\) 个，所以答案是 \(2^n n! Cat_n\)，也就是 \(2^n \frac{(2n)!}{(n+1)!}\)。

\(Code\)

#include <cstdio>

using namespace std;

#define int long long
#define mod 998244353

inline int fac(int n){
	int res=1;
	for(int i=2;i<=n;++i) res=res*i%mod;
	return res;
}

inline int qpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%mod;
		b>>=1;a=a*a%mod;
	}
	return res;
}

inline int C(int n,int m){
	return fac(n)*qpow(fac(m+1)%mod,mod-2)%mod;
}

signed main(){
	int n;
	scanf("%lld",&n);
	int ans=C(n<<1,n)*qpow(2,n)%mod;
	printf("%lld",(ans+mod)%mod);
	return 0;
}

D

题面复制下来太人性化了