COGS2259 异化多肽
听说是多项式求逆的模板题，以后不怕没地方练多项式求逆啦哈哈……
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我们设使用一个氨基酸能组成质量为$n$的多肽数量这个数列为$\{a_n\}$，设它的生成函数为$A(x)$，显然有
\begin{align}A(x)=\sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^m[C_j=i]\end{align}
即$A(x)$的$i$次方系数即为相对分子质量为$i$的氨基酸数量。
我们要求的是一个数列${b_n}$，它的第$n$项即为使用任意数目的氨基酸能组成质量为$n$的多肽数量，设它的生成函数为$B(x)$，那么有
\begin{align}A(x)=\sum_{i=0}^\infty B(x)^i\end{align}
右边化成封闭形式，得
\begin{align}A(x)=\frac 1{1-B(x)}\end{align}
多项式求逆即可，答案即为$[x^n]A(x)$。顺便一提，1005060097的原根是5。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn=262200,p=1005060097,g=5; 6 void NTT(int*,int,int); 7 void getinv(int*,int*,int); 8 int qpow(int,int,int); 9 int n,m,N=1,x,A[maxn]={0},B[maxn]; 10 int main(){ 11 freopen("polypeptide.in","r",stdin); 12 freopen("polypeptide.out","w",stdout); 13 scanf("%d%d",&n,&m); 14 while(N<=n)N<<=1; 15 while(m--){ 16 scanf("%d",&x); 17 A[x]=(A[x]+p-1)%p; 18 } 19 A[0]=(A[0]+1)%p; 20 getinv(A,B,N); 21 printf("%d",B[n]); 22 return 0; 23 } 24 void NTT(int *A,int n,int tp){ 25 for(int i=1,j=0,k;i<n-1;i++){ 26 k=n; 27 do j^=(k>>=1);while(j<k); 28 if(i<j)swap(A[i],A[j]); 29 } 30 for(int k=2;k<=n;k<<=1){ 31 int wn=qpow(g,(tp>0?(p-1)/k:(p-1)/k*(long long)(p-2)%(p-1)),p); 32 for(int i=0;i<n;i+=k){ 33 int w=1; 34 for(int j=0;j<(k>>1);j++,w=(long long)w*wn%p){ 35 int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>1)]%p; 36 A[i+j]=(a+b)%p; 37 A[i+j+(k>>1)]=(a-b+p)%p; 38 } 39 } 40 } 41 if(tp<0){ 42 int inv=qpow(n,p-2,p); 43 for(int i=0;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p; 44 } 45 } 46 void getinv(int *A,int *C,int n){ 47 static int B[maxn]; 48 fill(C,C+n,0); 49 C[0]=qpow(A[0],p-2,p); 50 for(int k=2;k<=n;k<<=1){ 51 copy(A,A+k,B); 52 fill(B+k,B+(k<<1),0); 53 NTT(B,k<<1,1); 54 NTT(C,k<<1,1); 55 for(int i=0;i<(k<<1);i++)C[i]=C[i]*((2-((long long)B[i]*C[i]%p)+p)%p)%p; 56 NTT(C,k<<1,-1); 57 fill(C+k,C+(k<<1),0); 58 } 59 } 60 int qpow(int a,int b,int p){ 61 int ans=1; 62 for(;b;b>>=1,a=(long long)a*a%p)if(b&1)ans=(long long)ans*a%p; 63 return ans; 64 }
其实我对NTT和生成函数只是刚入门而已……我们的征途是星辰大海……
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