Kahn算法拓扑排序

拓扑排序

1. 概念及规则

• 对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

• 规则：

  1. 图中每个顶点只出现一次。

  2. A在B前面，则不存在B在A前面的路径。(否则就会形成环)

  3. 顶点的顺序是

     保证所有指向它的下个节点在被指节点前面

     ！

     • 例如A—>B—>C那么A一定在B前面，B一定在C前面。
     • 这个核心规则下只要满足即可，所以拓扑排序序列不一定唯一！

2. 算法及实现

1. Kahn算法

   • 实现步骤：

     1. 维护一个入度为0的顶点的集合(栈、队列、优先队列皆可)
     2. 每次从该集合中取出一个顶点u(栈顶)
     3. 遍历u的邻接点v,v的入度rd[v]--,如果rd[v]==0,v进栈
     4. 队列为空，出栈数小于n，存在环

   • 时间复杂度：由于每个点入栈出栈一次，每条边扫描一次，时间复杂度为O(n + e)

   • 图示：

     1. 删除1或2以及对应边

        

     2. 删除2或3以及对应边

        

     3. 删除3或者4以及对应边

        

     4. 重复以上规则步骤

        

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
csont int maxn = 10005;
struct edge{
    int to, nx;
}e[maxn];
int n, m, len, head[maxn], rd[maxn], a[maxn];
void insert(int x, int y){//插边
    e[++len].to = y;
    e[len].nx = head[x];
    head[x] = len;
}
void kahn(){
    stact<int> stk;//维护入度为0的点
    for(int i=1; i<n; i++) if(!rd[i]) stk.push(i);//如果入度为0,进栈
    int cnt = 0;//记录出栈次数
    while(!stk.empty()){
        int u = stk.top();//获取栈顶
        stk.pop();
        a[++cnt] = u;//记录拓扑序
        for(int i=head[u]; i; i=e[i].nx){//遍历邻接点
            int v = e[i].to;
            rd[v] --;//删边
            if(!rd[v]) stk.push(v);//入度为0,进栈
        }
    }
    if(cnt < n){printf("Cycle"); return;}//出栈次数小于n,有环
    for(int i=1; i<=cnt; i++) printf("%d ", a[i]);
}
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=m; i++){
        int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
        insert(x, y); rd[y] ++;
    }
    kahn();
    return 0;
}