卡特兰数

卡特兰数，好像很早就想学一学了

但是一直咕了，今天终于真真正正的开始学习这个小东西了

大佬博客

通项公式

这里用\(f(n)\)表示卡特兰数第\(n\)项

1、单项公式:$$f(n)=\frac{2n \choose n}{n+1}$$

2、递推公式:$$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-1-i)$$

3、常用公式:$$f(n)={2n \choose n }-{2n \choose n+1}$$

于是我们理解这几个公式就很容易做题了

应用场景

多用后两个公式推导，最后得出卡特兰数

还有很多应用场景：

1、\(n\)对括号匹配的方案数

2、\(n\)个节点的二叉树形态数

(固定根节点，考虑左右儿子的节点数，得到第二个递推式)

3、凸\(n+2\)边形的不同的三角形分割数

4、进栈出栈

5、n层的阶梯切割为n个矩形的切法数

例题

不是高精，就是分解质因数，注意阶乘的质因子个数可\(\mathcal{O(nlogn)}\)求