题解 P8883 幻想中成为原神

幻想中成为原神

题意简述：求\(1\)到\(n\)中大于一的完全平方数的倍数的个数，\(n \leq 10^{18}\)

第一眼：莫反+整除分块+杜教筛
再看一眼：允许答案与标准答案有\(2 \times 10^{4}\)的误差是什么鬼？
*打开题解
*沉浸在数学中无法自拔

考虑任选一个正整数，它不是大于一的完全平方数的倍数的概率
任选一个正整数不是\(x^2\)的倍数的概率显然是$1- \frac{1}{x^2} $
我们又发现任意合数的平方都可以表示为多个质数平方的积，会被质数统计
因此只考虑质数即可
则答案为：

\[\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^2}) \]

接下来请出第一个科技——欧拉乘积公式：

\[\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^s})^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} \]

证明：
设：

\[\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=k \]

则

\[k=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\cdots \]

两边同乘\(\frac{1}{2^s}\)，得：

\[\frac{1}{2^s}k=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\cdots \]

两式相减，得:

\[(1-\frac{1}{2^s})k=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\cdots \]

再对\(\frac{1}{3^s},\frac{1}{5^s},\frac{1}{7^s},\cdots\)做同样的操作，我们便可以以一种类似埃氏筛的方式去掉等号右侧除\(1\)以外的每一项，则

\[(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{5^s})\cdots k=1 \\ \prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^s}) k=1 \\ \prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^s})^{-1}=k \\ \prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^s})^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} \]

注意：该公式要求\(s>1\)，否则右侧求和式发散，公式不成立
代入\(s=2\)，得

\[\prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^2})^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \]

问题便转化为了求等号右侧式子的倒数
接下来请出第二个科技——巴塞尔问题：
欲求

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \]

由泰勒公式得

\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\cdots \]

两端同除\(x\)，得

\[\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}\cdots \]

注意到\(\frac{\sin x}{x}=0\)的解是：

\[k\pi,k\in\mathbb{Z},k\not=0 \]

则可构造一个有相同根的多项式

\[\begin{aligned} & (1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{2\pi})\cdots \\ = &(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots \end{aligned} \]

由\(x=0\)时的极限可计算出两式相等时常系数为\(1\)，则

\[\frac{\sin x}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots \]

那么

\[1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots \]

考虑\(x^2\)的系数，可得

\[-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{4\pi^2}-\frac{1}{9\pi^2}-\cdots \]

同乘\(-\pi^2\)，得

\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6} \]

则有：

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \\ \prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^2})^{-1}=\frac{\pi^2}{6} \\ \prod_{p\in\mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^2})=\frac{6}{\pi^2} \\ \]

于是我们求出了任选一个正整数不是大于一的完全平方数的倍数的概率为\(\frac{6}{\pi^2}\)
那么任选一个正整数是大于一的完全平方数的倍数的概率为\(1-\frac{6}{\pi^2}\)
故答案可估计为\((1-\frac{6}{\pi^2})n\)