【习题】4.4 常系数非齐次线性方程的待定系数法
[T040401] 求微分方程通解: \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=\frac{1}{\sin^3t}\).
解 对应的常系数齐次线性微分方程的特征方程为 \(\lambda^2+1=0\), 得特征根为 \(\lambda_1=i,\ \lambda_2=-i\). 故对应的常系数齐次线性微分方程的通解为 \(x(t)=c_1\cos t+c_2\sin t\). 设原方程的通解为
\[x(t)=c_1(t)\cos t+c_2(t)\sin t
\]
利用常数变易法, 得到关于 \(c_1'(t)\) 和 \(c_2'(t)\) 的两个方程:
\[\begin{cases}
c_1'(t)\cos t+c_2'(t)\sin t=0\\
-c_1'(t)\sin t+c_2'(t)\cos t=\frac{1}{\sin^3t}
\end{cases}
\]
解得 \(c_1'(t)=-\frac{1}{2\sin^2t}, \ c_2'(t)=\frac{\cos t}{\sin ^3t}\). 于是 \(c_1(t)=\frac{1}{2}\cot t+c_1, \ c_2(t)=-\frac{1}{2}\sin^{-2}t+c_2\), 从而通解为
\[x(t)=c_1\cos t+c_2\sin t+\frac{1}{2}\cot t\cos t-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin t}. \quad\quad\#
\]
