第二章作业

1、自然语言描述：
（1）选取数组中的一个元素作为基准pivot，对数组划分：小于等于 pivot 放左边，大于等于 pivot 放右边，得到基准所在位置。
（2）计算左分区（含基准）的元素个数left_len：

• 如果k == left_len：基准就是第 k 小元素，直接返回；
• 如果k < left_len：说明第 k 小在左分区，递归在左区间查找第 k 小；
• 如果k > left_len：说明第 k 小在右分区，递归在右区间查找第k-left_len小。
  （3）递归终止条件：区间内只有一个元素，该元素就是第 k 小。
  2、时间复杂度：
• 最好情况：每次划分的基准都刚好把数组均匀分成两半。每次递归只处理一半数组，总元素操作量：n+n/2+n/4+...=O(n)
  最好时间复杂度：(O(n)
• 最坏情况：每次选的基准都是当前区间最大 / 最小值，划分后一侧只有 1 个元素，另一侧是剩下全部元素（数组已经有序，每次选端点做 pivot）。递归需要遍历 (n+(n-1)+(n-2)+\dots = O(n^2))
  最坏时间复杂度：(O(n^2)

补充：如果使用**随机基准的快速选择，期望平均时间复杂度为O(n)。
3、对分治法的体会和思考：
分治法核心思路是分、治、合：把一个大规模的复杂原问题，拆成若干规模更小、结构相同的子问题；递归求解子问题；最后合并子问题的解，得到原问题答案。

1. 分：拆分问题，降低规模。像找第 k 小，不需要对整个数组全排序，划分后只需要继续处理包含目标的那一个子问题，另一个子问题直接丢弃，减少大量计算。
2. 治：递归求解子问题，直到子问题足够简单，可以直接得出解（基线条件）。
3. 合：很多分治问题需要合并子问题结果（如归并排序）；而快速选择这类算法，不需要合并，因为我们只关心目标在哪一侧，不需要两边都算出结果。