数学-概率-New 21 Game

2020-02-10 13:24:26

问题描述：

 

问题求解：

第一次看到这个题目的时候想到的是之前做过的一条概率题，就是那个国际象棋，那条题目的做法是使用dp去对所有留在棋盘的种类进行计数，然后除以总数。所以，我一开始的做法也是这样做的。

但是实际是不对的，问题就是最后得到的解的概率是不等的，所以不能简单的计数符合条件的个数和最后的总个数并相除，如下面的例子。

If you draw 1, then 9, probability is P(1) * P(9) = 0.1 * 0.1 = 0.01
If you draw 10, probability is P(10) = 0.1.

(1, 9) and (10) can't be simply regarded as combination candidates for they don't share the same probability

 

实际是需要使用dp来做的。

    public double new21Game(int N, int K, int W) {
        if (N < K) return 0;
        if (K == 0 || N >= K - 1 + W) return 1;

        int maxPoint = K + W - 1;
        // probability[i] is probability of getting point i.
        double[] probability = new double[maxPoint + 1];
        
        probability[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= maxPoint; i++) {
            for (int w = 1; w <= W; w++) {
                if (i - w >= 0 && i - w < K)
                    probability[i] += probability[i - w] * 1 / W;
            }
        }
        
        double targetProbability = 0; // Probability of N or less points.
        for (int i = K; i <= N; i++) {
            targetProbability += probability[i];
        }
        
        return targetProbability;
    }

上述的代码非常简洁明了，但是会TLE。我们需要对它进行优化。

dp[i] = sum(dp[i - 1] + dp[i - 2] + ... + dp[i - w]) * 1 / W，如果我们使用dp[i]直接去存储sum(dp[0] + dp[1] + dp[2] + ... + dp[i])，那么dp[i] = (dp[i - 1] - dp[i - W - 1]) * 1 / W + dp[i - 1]。

这个里面如果i - w >= K是不能加入计算的，也就是当i >= K + w的时候就需要将部分的和去掉。

    public double new21Game(int N, int K, int W) {
        if (N < K) return 0;
        if (K == 0 || N >= K - 1 + W) return 1;
        int max_point = K - 1 + W;
        double[] dp = new double[max_point + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= max_point; i++) {
            if (i - W - 1 < 0) dp[i] = dp[i - 1] * (1.0 / W) + dp[i - 1];
            else {
                dp[i] = (dp[i - 1] - dp[i - W - 1]) * (1.0 / W) + dp[i - 1];
            }
            if (i > K) dp[i] -= (dp[i - 1] - dp[K - 1]) * (1.0 / W); 
        }
        return dp[N] - dp[K - 1];
    }