【学习笔记】第二类斯特林数

II类Stirling Number

将 \(n\) 个不同元素分为 \(k\) 个无标号集合的方案数，记为 \(\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}\)。

递推式

\[\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1 \end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix} \]

容斥原理/卷积形式

\[\begin{aligned} \begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}&=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^k\binom{k}{i}(k-i)^n\\ &=\sum_{i=0}^{k}\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(k-i)^n}{(k-i)!} \end{aligned} \]

普通幂转下降幂

原型

\[m^n=\sum_{i=0}^n\binom{m}{i}\begin{Bmatrix}n\\i \end{Bmatrix}i! \]

由 \(\binom{m}{i}i!=m^{\underline{i}}\)

因此

\[m^n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i \end{Bmatrix}m^{\underline{i}} \]

应用

求

\[\sum_{i=0}^ni^k\binom{n}{i} \]

引理：

\[k^{\underline{i}}\binom{n}{k}=n^{\underline{i}}\binom{n-i}{k-i} \]

由 \(\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\) 连续展开得到。

于是

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^ni^k\binom{n}{i}&=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j \end{Bmatrix}i^{\underline{j}}\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j \end{Bmatrix}i^{\underline{j}}\binom{n}{i}\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j \end{Bmatrix}n^{\underline{j}}\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j \end{Bmatrix}n^{\underline{j}}\sum_{i=0}^n\binom{n-j}{i-j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j \end{Bmatrix}n^{\underline{j}}2^{n-j}\\ \end{aligned}\\ \]