【学习笔记】LGV引理

在有向无环图中，有一组起点 \(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\) 与终点 \(B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}\)。

定义 \(\omega(P)\) 为一条路径 \(P\) 中每条边权的乘积，即 \(\omega(P)=\prod_{e\isin P} w_e\)（可以看作是一条固定点路径中计算重边的边路径数）。

定义 \(e(a,b)\) 为两点之间所有路径的 \(\omega\) 之和，即 \(e(a,b)=\sum_{P:a\rightarrow b} \omega(P)\)。

设一个从 \(A\) 到 \(B\) 的路径组为 \(P=(P_1,P_2,\cdots,P_n)\)，\(P_i=(a_i,b_{\sigma(i)})\)，其中 \(\sigma\) 为任意一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列。

则定义 \(\omega(P)=\prod_{i=1}^n \omega(P_i)\) 为该路径组的实际路径方案数。

定义 \(t(P)\) 为这个路径组涉及的排列 \(\sigma\) 的逆序对数。

那么LGV引理描述为，设一个矩阵

\[M=\left( \begin{matrix} e(a_1,b_1) &e(a_1,b_2) &\cdots &e(a_1,b_n)\\ e(a_2,b_1) &e(a_2,b_2) &\cdots &e(a_2,b_n)\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ e(a_n,b_1) &e(a_n,b_2) &\cdots &e(a_n,b_n) \end{matrix}\right) \]

则有定理

\[\det(M)=\sum_{P:A\rightarrow B} (-1)^{t(P)} \prod_{i=1}^n \omega(P_i) \]

其中 \(P\) 是一个从 \(A\) 到 \(B\) 的不相交路径组。

该定理的实际意义为，\(\det(M)\) 的值是所有不相交路径组方案数的带符号数量和。

证明：

由行列式定义知

\[\begin{aligned} \det(M)&=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^ne(a_i,b_{\sigma(i)})\\ &=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n\sum_{P:a_i\rightarrow b_{\sigma(i)}}\omega(P)\\ \end{aligned} \]

观察 \(\prod_{i=1}^n\sum_{P:a_i\rightarrow b_{\sigma(i)}}\omega(P)\)，实际上是所有从 \(A\) 到 \(B\) 排列为 \(\sigma\) 的路径组 \(P\) 的 \(\omega(P)\) 之和。

\[\begin{aligned} &\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n\sum_{P:a_i\rightarrow b_{\sigma(i)}}\omega(P)\\ =&\sum_\sigma(-1)^{t(\sigma)}\sum_{P=\sigma}\omega(P)\\ =&\sum_{P:A\rightarrow B} (-1)^{t(P)} \prod_{i=1}^n \omega(P_i) \end{aligned} \]

还没证明完，实际上这里的 \(P\) 为任意一个路径组，而引理描述的是不相交路径组。

设 \(U\) 为不相交路径组，\(V\) 为相交路径组，

\[\begin{aligned} &\sum_{P:A\rightarrow B} (-1)^{t(P)} \prod_{i=1}^n \omega(P_i)\\ =&\sum_{U:A\rightarrow B} (-1)^{t(U)} \prod_{i=1}^n \omega(U_i)+\sum_{V:A\rightarrow B} (-1)^{t(V)} \prod_{i=1}^n \omega(V_i) \end{aligned} \]

我们要证的就是

\[\sum_{V:A\rightarrow B} (-1)^{t(V)} \prod_{i=1}^n \omega(V_i)=0 \]

实际上，我们在一组相交路径 \(P\) 中取一个相交路径中最小的二元组 \((i,j)\)，

有路径 \(P_i:a_1\rightarrow u \rightarrow b_1\)，\(P_j:a_2\rightarrow u \rightarrow b_2\)。

我们魔改一下路径使得 \(P_i:a_1\rightarrow u \rightarrow b_2\)，\(P_j:a_2\rightarrow u \rightarrow b_1\)。通过这种构造得到了另一个相交路径组 \(P'\)，容易发现

\[\omega(P)=\omega(P'),t(P)=t(P')\pm1 \]

而对于任意的相交路径组，都可以通过这种交换得到一一对应的相交路径组，因此和为 \(0\)。

因此

\[\det(M)=\sum_{U:A\rightarrow B} (-1)^{t(U)} \prod_{i=1}^n \omega(U_i) \]

证毕。

P6657【模板】LGV引理

由于 \(A\) 和 \(B\) 的坐标都是递增的，而要求起点终点一一对应，因此只有排列为顺排才可能不相交。

因此答案即为 \(\det(M)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

const ll mod=998244353;

const int maxn=105;
int t;
int a[maxn],b[maxn];
ll fac[1000005];
ll f[maxn][maxn];

ll qpow(ll a,ll b){
    ll ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;b>>=1;
    }
    return ret;
}

ll C(ll n,ll m){
    return fac[n]*qpow(fac[n-m],mod-2)%mod*qpow(fac[m],mod-2)%mod;
}

ll Guass(ll f[][maxn],int n){
    ll ret=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            while(f[i][i]){
                ll div=f[j][i]/f[i][i];
                for(int k=i;k<=n;k++){
                    f[j][k]=(f[j][k]-div*f[i][k]%mod+mod)%mod;
                }
                swap(f[i],f[j]);
                ret=-ret;
            }
            swap(f[i],f[j]);ret=-ret;
        }
    }
    if(ret<0) ret+=mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) ret=ret*f[i][i]%mod;
    return ret;
}

int main(){
#ifdef LOCAL
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
#endif
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<1000005;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,m;
        memset(f,0,sizeof f);
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(b[j]<a[i]) continue;
                f[i][j]=C(n-1+b[j]-a[i],n-1);
            }
        }
        printf("%lld\n",Guass(f,m));
    }
    return 0;
}