RSA算法基础详解

前言:在RSA诞生之前

RSA算法是最重要算法之一

它是计算机通信安全的基石,安全可靠

只要有计算机网络的地方,就有RSA算法

在它诞生之前,即1976年以前,加解密信息使用同一种规则

  1. 甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;
  2. 乙方使用同一种规则,对信息进行解密。

虽然理论上,只要加解密“规则”(即“密钥”)足够复杂,这种方式也可安全的传递信息

但这种方法最大的弱点就是,密钥在传递的过程中易被泄露

这种加密和解密使用同样规则的方法,被称为“对称加密算法”

RSA算法

倘若在加解密信息的过程中,能让加密密钥(公钥)与解密密钥(私钥)不同,即

  1. 甲要传密信给乙,乙先根据某种算法得出本次与甲通信的公钥与私钥;
  2. 乙将公钥传给甲(公钥可以让任何人知道,即使泄露也没有任何关系);
  3. 甲使用乙传给的公钥加密要发送的信息原文m,发送给乙密文c
  4. 乙使用自己的私钥解密密文c,得到信息原文m .

就可以很好的克服对称加密算法的弱点,这种新的加密模式被称为“非对称加密算法”

可以观察到,从始至终,私钥一直都在信息接收方乙处

只要乙自己不泄露出去,私钥就没有泄露的可能

1977年,三位数学家RivestShamirAdleman设计了一种算法,可以实现非对称加密

这种算法用他们三个人的名字首字母命名,叫做RSA算法

RSA算法非常可靠,密钥越长,它就越难破解

至于难以破解的原理(安全性),在本文介绍完该算法后会有简要说明

下面,先介绍一些基本概念与数学定理

质数与互质数

这是小学数学的概念

  1. 一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除(除0以外)的数称之为质数(素数);否则称为合数。

例如,15=3×5,所以15不是素数

13除了等于13×1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数

1不是质数,也不是合数

  1. 公约数只有1的两个数,叫做互质数。

判断或选取互质数的方法/定理有很多,如下所示

  1. 任意两个质数一定构成互质数(如3115361);
  2. 大数是质数的两个数一定是互质数(如9788);
  3. 一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数;
    即一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系(如310526);
  4. 1和任何一个自然数在一起都是互质数;
  5. 相邻的两个自然数是互质数(如1516);
  6. 相邻的两个奇数是互质数(如4951)。

RSA算法中,我们通常使用以上第1条与第2

即选取两个本身都是质数的数作为互质数

而以上第2条定理对于计算欧拉函数值有着积极作用

模运算

模运算的定义如下

  1. m去被n整除,只取所得的余数作为结果,就叫做模运算。

例如,10 mod 3 = 1 、26 mod 6 = 2 、28 mod 2 = 0

同余

”是数论中表示同余的符号

同余的定义如下

  1. 给定一个正整数m,如果两个整数ab满足a-b能被m整除,即(a-b)modm=0
    那么就称整数ab对模m同余,记作ab(modm),同时可成立amodm=b

再次提醒注意,同余与模运算是不同的

ab(modm)仅可推出b=amodm

欧拉函数

欧拉函数本身需要一系列复杂推导,本部分仅介绍对认识RSA算法有帮助的部分

  1. 任意给定正整数n,计算在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?
    计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示.

例如,在18之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以φ(n)=4

RSA算法中,我们需要明白欧拉函数对以下定理成立

  1. 如果n可以分解成两个互质的整数之积,即n=p×q,则有:φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q);
  2. 根据“大数是质数的两个数一定是互质数”可以知道:
    一个数如果是质数,则小于它的所有正整数与它都是互质数;
    所以如果一个数p是质数,则有:φ(p)=p-1

由上易得,若我们知道一个数n可以分解为两个质数pq的乘积,则有

φ(n)=(p-1)(q-1)

欧拉定理与模反元素

欧拉函数的用处,在于欧拉定理

“欧拉定理”指的是

  1. 如果两个正整数an互质,则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立:
    aφ(n)1(modn)

也就是说,aφ(n)次方被n除的余数为1

模反元素的推导过程如下

  1. 根据欧拉定理,有:
    aφ(n)=a×aφ(n)11(modn)
    b=aφ(n)-1,得:
    ab1(modn)
    b就是a的模反元素

意即,如果两个正整数an互质,那么一定可以找到整数b

使得ab-1n整除,或者说abn除的余数是1

真实的例子

根据以上介绍的定义和数学知识

先来看一个真实的例子加深印象

假设甲要发送一串秘密数字m=65给乙

乙发送了一个公钥(n,e)=(3233,17)给甲

甲根据以下公式及公钥对密文m加密成c

mec(modn)

代入得

c=memodn=6517mod3233=2790

甲将使用公钥加密的密文c=2790发送给乙

乙收到c=2790的密文后,使用私钥(n,d)=(3233,2753)根据以下公式进行解密

cd=m(modn)

代入得

m=cdmodn=27902753mod3233=65

乙使用与公钥不同的私钥成功计算出密文m,发现了吗?

从始至终,用来解密的私钥(n,d)=(3233,2753)一直都在乙处,从未泄露

乙给甲的仅仅是用来加密的公钥(3233,17)

这个公钥并不能用来解密,即使被他人截获,也没有任何泄密的风险

那么,乙是如何计算出给甲的公钥(3233,17)和私钥(3233,2753)的呢?

计算密钥

根据以上“真实的例子”

看看乙是如何计算密钥(公钥和私钥)的

  1. 随机选择两个不相等的质数pq(乙选择了6153
  2. 计算pq的乘积n=p×q=61×53=3233
  3. 根据本文“欧拉函数”介绍过的公式
    φ(n)=(p-1)(q-1)
    代入计算n的欧拉函数值
    φ(3233)=(61-1)×(53-1)=60×52=3120
  4. 随机选择一个整数e,条件是1<e<φ(n),且eφ(n)互质
    乙就在13120之间,随机选择了17
  5. 因为eφ(n)互质,根据求模反元素的公式计算e,对于e的模反元素d有:
    ed1(modφ(n))
    这个式子等价于
    (ed-1)/φ(n)=kk为任意正整数)

    ed-kφ(n)=1,代入数据得:
    17d-3120k=1
    实质上就是对以上这个二元一次方程求解
    得到一组解为:(d,k)=(2753,-15)
  6. ne封装成公钥,nd封装成私钥
    n=3233e=17d=2753
    所以公钥就是(3233,17),私钥就是(3233,2753)

其中,n的长度就是密钥长度,3233写成二进制是110010100001

一共有12位,所以这个密钥就是12

实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048

密钥组成与加解密公式

公钥KU n:质数p和质数q的乘积(pq必须保密)
e:与(p-1)×(q-1)互质
私钥KR n:同公钥n
de-1(mod(p-1)(q-1))
加密 c=memodn
解密 m=cdmodn

安全性

根据以上实例,也许会有疑问

公钥中已包含n=3233,我将其因式分解回n=3233=61×53

再根据乙计算密钥的流程,不就可以根据公钥得出私钥了

事实上,RSA的安全性就是源自你没办法轻易的对大整数“因式分解”

上面的例子,密钥长度是12

因为这只是个示例,所以密钥长度实在是太短了

你可以将示例中的n作因式分解,但是你没法对下面这个整数进行因数分解

12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积:

×
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917

事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)

对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性

实际应用中,RSA密钥一般是1024位(安全),重要场合则为2048位(极其安全)

一点感想

明天早上考大学生涯最后一门课程《网络安全》

其中重点中的重点便是RSA算法

课本讲得很随意,还是得参考一些资料

包括阮一峰先生的两篇文章RSA算法原理(一)》RSA算法原理(二)》

和一些其它资料,如《用实例给新手讲解RSA加密算法》

读懂并整理加入了一些自己的想法,完成本文并共享之

就当学生考试生涯结束前的一点纪念吧

若有纰误或不足,欢迎您留言指正

posted @ 2014-11-30 21:59 黄映焜 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏