【BZOJ1041】数论

分析
求有多少个点对(x,y)满足x2+y2 = r2

显然,答案是对称的,四个象限的数目是一样的。
而且r是一个整数,所以四个坐标轴都有整点。
设ans是第一象限内的点的数目,则结果就是4*ans+4。

现在我们假设(x>0,y>0),则y=sqrt((r-x)(r+x))

设d = gcd((r+x),(r-x))
那么显然(r+x)/d与(r-x)/d互质。
设A = (r-x)/d,B = (r+x)/d
则r-x = Ad, r+x = Bd
将其带入等式,则y2 = d2AB
即(y/d)2 = AB
因为x!=0,所以A!=B。
所以A和B都分别是平方数,即A = a2, B = b2。
于是a2 + b2 = (2r)/d 且gcd(a,b)==1

因为A = r-x,B = r+x,所以a<b。
所以a2<r/d

然后我们枚举a和d,求出b,判断是否满足条件即可。

注意,枚举d的时候,有两边,即(2r)/d和d。

#include <bits/stdc++.h>
#define sc(n) scanf("%d",&n)
#define pt(n) printf("%d\n",n)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define vi vector<int>
#define vl vector<long long>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
ll r,ans = 0;
void work(ll k)
{
for(ll a=1;a*a<k/2;a++)
{
ll now = k-a*a;
ll b = sqrt(now);
if(b*b!=now) continue;
if(__gcd(a,b)==1) ans++;
}
}
int main()
{
scanf("%lld",&r);
for(ll d=1;d*d<=2*r;d++)
{
if(2*r%d==0)
{
work(2*r/d);
if(d*d!=2*r) work(d);
}
}
printf("%lld\n",4*ans+4);
return 0;
}

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posted @ 2019-06-30 11:18  水至清明  阅读(67)  评论(0编辑  收藏