区间DP

区间DP

定义

所谓区间dp，指在一段区间上进行动态规划，一般做法是由长度较小的区间往长度较大的区间进行递推，最终得到整个区间的答案，而边界就是长度为1以及2的区间。

区间DP的一般表达式：

枚举区间长度

枚举区间起点
计算区间终点
枚举区间断点

P1220 关路灯

状态

dp[i][j][0/1]表示区间[i,j]的路灯全关掉且站在i或j处的最小功耗

答案

min(dp[1][n][0],dp[1][n][1])

状态转移

for(int len=2;len<=n;len++){
	for(int i=1;i+len-1<=n;i++){ // 起点 
		int j=i+len-1;
		dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(x[i+1]-x[i])/*时间*/*(sum[i]+sum[n]-sum[j])/*功率之和*/,dp[i+1][j][1]+(x[j]-x[i])/*时间*/*(sum[i]+sum[n]-sum[j])/*功率之和*/);
		dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+(x[j]-x[i])/*时间*/*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1])/*功率之和*/,dp[i][j-1][i]+(x[j]-x[j-1])/*时间*/*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1])/*功率之和*/);
	}
}

初始状态

dp[i][i]=abs(x[i]-x[c])*(sum[n]-w[c])

P4290 [HAOI2008] 玩具取名

样例解释

初始	过程1	结果
I	WW	IIII
N	WW	IIII

状态

dp[i][j][0/1/2/3]表示字符串区间[i,j]的字串可以由第0/1/2/3的字母替换而来。

辅助状态

yes[a][b][c]代表a可以用b和c替代。

答案

dp[1][n][0]输出w,dp[1][n][1]输出i ……

状态转移

for(int k=i;k<j;k++){
	for(int c1=0;c1<4;c1++){
		for(int c2=0;c2<4;c2++){
			for(int c=0;c<4;c++){
				if(dp[i][k][c1] && dp[k+1][j][c2]&&yes[c][c1][c2]){
					dp[i][j][c]=1;
				}
			}
		}
	}
}

初始状态

dp[i][i][s[i]]=1

P1435 [IOI2020] 回文子串

状态

dp[i][j]表示将区间[i,j]变成回文的最小操作次数；

答案

dp[i][n];

状态转移

dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j-1])+1;
if(s[i]==s[j]){
	dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j-1]);
	if(len==2)dp[i][j]=0;
}

P1070 [NOIP2009 普及组] 道路游戏

状态

dp[i][j]表示时间为i,机器人处于位置j的到的最大金币数

状态转移

情况1：不换机器人
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+a[i][j]
情况2:更换机器人
dp[i][j]=max(dp[i-1][k]+a[i][j]-b[j],dp[i][j])

P1775 石子合并（弱化版）

状态

dp[i][j]表示从合并i到j所花费的最小代价

答案

dp[1][n]

状态转移

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);

CF607B Zuma

状态

dp[i][j]表示从i到j消除的最小时间

状态转移

for(int len=3;len<=n;len++){
    for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
        int j=i+len-1;
        if(a[i]==a[j])dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
        for(int k=i;k<j;k++){
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
        }
    }
}

P3205[HNOI2010]合唱队

状态

dp[i][j][0/1]表示构成i到j的理想队形从左边来或从右边来的最小操作数

状态转移

if(h[i]<h[i+1]){
    dp[i][j][0]+=dp[i+1][j][0];
}
if(h[i]<h[j]){
    dp[i][j][0]+=dp[i+1][j][1];
}
if(h[j]>h[i]){
    dp[i][j][1]+=dp[i][j-1][0];
}
if(h[j]>h[j-1]){
    dp[i][j][1]+=dp[i][j-1][1];
}