【HNOI2015】开店
题目描述
题目大意:给定一颗个点的树,每个点有点权,边有边权(表示两个点之间的距离)。次询问,每次询问点权在之间的所有点到某个点的距离之和。强制在线。
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分析
首先考虑一个简化的版本,询问所有点到点的距离和。尝试进行公式推导。
令分别表示以为根时第个点的深度和子树大小。观察为根和为根会发生哪些变化。
的子树中某节点的深度会从变成,相当于都减少了,且有;的子树,且不是的子树中的某节点,深度会从变成,相当于减少了,且有个点发生了此变化,以此类推。
更具体的描述,定义为至的链上的第个点,至的链上共有个点,那么所有点到的距离之和可以用如下式子表示:
展开可得:
其中
于是原式变为
现在观察
直接相减出现的难以处理,我们考虑进行一次错位
原式
将原式中的并入上式中,得到:
注意到是点 到其父节点的边权,定义为
故原式等于
可以进行维护
现在考虑如何加入的限制。直接通过子树查询的方式进行,单次复杂度与树高约为线性关系,不可以接受。这时便要体会主席树的版本作用。
将点按照点权排序,一个一个加入,最终答案便是对应版本的主席树的答案减去个对应版本的前一个版本的主席树的答案。
每次加入一个点的时候,树的形态不发生变化,不发生变化,只有发生变化。只需把加入的这个点到根的路径上的所有点的进行即可,查询时从当前指定的点出发,向上统计。这是可以通过树链剖分维护的。由于空间限制,标记永久化是一个不错的选择。
思路总结
对主席树的认识不要僵化,体会其有关版本的作用。例如对于区间统计在之间的数的个数问题,其实也可以按照数值排序后一个个插入点,统计第个版本的树中位置是的有多少,减去第颗树的答案。不同版本不一定是按照位置,也不一定是按照权值(虽然我目前就见过这俩),思路要灵活。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 200050
#define ri register int
#define il inline
using namespace std;
typedef long long LL;
int n, q, A, ecnt, numcnt, root[MAXN], rtcnt, num[MAXN];
int tcnt, top[MAXN], id[MAXN], fa[MAXN], fv[MAXN], son[MAXN], size[MAXN];
LL lastans, dsum[MAXN], dep[MAXN];
struct Node {
int id, ag;
bool operator < (const Node &x) const {
if(ag == x.ag) return id < x.id;
return ag < x.ag;
}
}mon[MAXN];
struct node {
int v, w;
node *next;
}pool[MAXN<<2], *h[MAXN];
struct NODE {
int ls, rs, lazy;
LL sum, esum;
void init() {
ls = rs = lazy = 0, esum = sum = 0;
}
}t[MAXN<<7];
il void adde(int u, int v, int w) {
node *p = &pool[ecnt++], *q = &pool[ecnt++];
*p = node {v, w, h[u]}, h[u] = p;
*q = node {u, w, h[v]}, h[v] = q;
}
void dfs1(int u) {
size[u] = 1;
for(node *p = h[u]; p; p = p->next) {
if(p->v == fa[u]) continue;
dep[p->v] = dep[u]+p->w, fa[p->v] = u, fv[p->v] = p->w, dfs1(p->v), size[u] += size[p->v];
if(size[p->v] > size[son[u]]) son[u] = p->v;
}
}
void dfs2(int u, int t) {
id[u] = ++tcnt, top[u] = t, num[tcnt] = fv[u];
if(!son[u]) return ;
dfs2(son[u], t);
for(node *p = h[u]; p; p = p->next)
if(!id[p->v]) dfs2(p->v, p->v);
}
void build(int &u, int l, int r) {
int tmp = u; u = ++rtcnt, t[u] = t[tmp];
if(l == r) return (void)(t[u].esum = num[l]);
int mid = (l+r)>>1;
build(t[u].ls, l, mid);
build(t[u].rs, mid+1, r);
t[u].esum = t[t[u].ls].esum + t[t[u].rs].esum;
}
void change(int &u, int l, int r, int tl, int tr) {
int tmp = u; u = ++rtcnt, t[u] = t[tmp];
if(tl <= l && r <= tr) {
++t[u].lazy;
t[u].sum += t[u].esum;
return ;
}
int mid = (l+r)>>1;
if(tl <= mid) change(t[u].ls, l, mid, tl, tr);
if(mid < tr) change(t[u].rs, mid+1, r, tl, tr);
t[u].sum = t[t[u].ls].sum + t[t[u].rs].sum + t[u].esum*t[u].lazy;
}
void Change(int u, int ver) {
while(top[u] != 1) {
change(root[ver], 1, n, id[top[u]], id[u]);
u = fa[top[u]];
}
change(root[ver], 1, n, 1, id[u]);
}
LL query(int u, int l, int r, int tl, int tr, int add) {
if(tl <= l && r <= tr) return t[u].sum + t[u].esum*add;
int mid = (l+r)>>1; LL ret = 0;
add += t[u].lazy;
if(tl <= mid) ret += query(t[u].ls, l, mid, tl, tr, add);
if(mid < tr) ret += query(t[u].rs, mid+1, r, tl, tr, add);
return ret;
}
LL Query(int u, int ver) {
LL ret = 0;
while(top[u] != 1) {
ret += query(root[ver], 1, n, id[top[u]], id[u], 0);
u = fa[top[u]];
}
ret += query(root[ver], 1, n, 1, id[u], 0);
return ret;
}
il LL calc(int u, int ver) {
return dsum[ver] + ver*dep[u] - 2*Query(u, ver);
}
int main() {
int u, v, c;
scanf("%d%d%d", &n, &q, &A);
for(ri i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &mon[i].ag), mon[i].id = i;
for(ri i = 1; i < n; ++i) scanf("%d%d%d", &u, &v, &c), adde(u, v, c);
dfs1(1), dfs2(1, 1);
sort(mon+1, mon+n+1);
build(root[0], 1, n);
for(ri i = 1; i <= n; ++i)
dsum[i] = dsum[i-1] + dep[mon[i].id],
root[i] = root[i-1], Change(mon[i].id, i);
while(q--) {
LL l, r; int L, R;
scanf("%d%lld%lld", &u, &l, &r);
l += lastans, r += lastans;
L = min(l%A, r%A), R = max(l%A, r%A);
L = lower_bound(mon+1, mon+n+1, Node{0, L})-mon, R = upper_bound(mon+1, mon+n+1, Node{MAXN, R})-mon-1;
//注意此细节
printf("%lld\n", lastans = calc(u, R)-calc(u, L-1));
}
return 0;
}