【高数笔记】雅可比矩阵

雅可比矩阵可以表示各种变换的局部变化之间的关系

比如对于\left\{\begin{matrix} x=rcos\theta \\y=rsin\theta \end{matrix}\right.，这是一个由\begin{bmatrix} r\\\theta \end{bmatrix}到\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}的变换

雅可比矩阵J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta } \\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \theta } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta &rcos\theta \end{bmatrix}

两个坐标系中的局部变化满足：

\begin{bmatrix} dx\\dy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta &rcos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dr \\d\theta \end{bmatrix}

对于一个足够小的局部，是可以看成变换在这个局部是线性的

则有：dxdy=|J|drd\theta =rdrd\theta

值得注意的是，线性变化中雅可比矩阵的值可以代表整个变化，包括局部的变化规律

而非线性变化中雅可比矩阵的函数只能代表局部变化，不能表示整个变化



作者：star_082c
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posted @ 2020-09-25 15:24  yongbin-H  阅读(1645)  评论(0)  编辑  收藏  举报