Fibonacci 数列

数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 叫做 Fibonacci 数列。这个数列有很多神奇的性质，其中一个性质是，每一个 Fibonacci 数的平方与它前后两个 Fibonacci 数的乘积一定正好相差 1 。具体地说，如果把第 n 个 Fibonacci 数记做 F_n，那么有：

      F_n+1 · F_n+1 - F_n · F_n+2 = (-1)ⁿ

Fibonacci 数有很多组合数学上的意义。比如说，用 1 × 1 和 1 × 2 的积木覆盖一个 1 × n 的棋盘，总的方案数恰好是 F_n+1 。

给出一个长度为 n 的棋盘后，它的覆盖方案可以分成两类，最后边放的是一个 1 × 1 的积木，或者最后边放的是一个 1 × 2 的积木。前一类情况下的方案数也就完全取决于前 n - 1 个格子的覆盖方案数，后一类情况下的方案数则等于前 n - 2 个格子的覆盖方案数。因此，如果用 f(n) 来表示 1 × n 棋盘的覆盖方案数，那么正好就有 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) 。另外，由于 f(1) = 1 ， f(2) = 2 ，因而接下来的数 f(3), f(4), f(5), … 也就恰好构成了 Fibonacci 数列。