积性函数

\[欧拉函数 \]

1、\(\phi(n)\)表示小于等于 \(n\)的自然数中与 \(n\) 互质的数的个数。

由唯一分解定理可知

\[n=p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times ... \times p_k^{c_k},\ n\ge 2,p_i \in prime \]

(\(p\in prime\) 表示 \(p\) 是质数)

则有 $$\phi(n)=n \times (1-\frac{1}{p_1}) \times (1-\frac{1}{p_2}) \times ... \times (1-\frac{1}{p_k})$$

特别的，\(\phi(1)=1\)。

我们证明一下上面那个式子

我们先考虑质数的次数均为 \(1\) 的情况。

由容斥原理可知

假设 \(n=p\times q\ \ \ (p,q\in prime)\)

则\(p,2p,3p,...\lfloor \frac{n}{p} \rfloor p\)，均不与 \(n\) 互质，同理，\(q,2q,3q,...\lfloor \frac{n}{q} \rfloor q\)，也不与 \(n\) 互质。我们要加上既是 \(p\) 的倍数，也是 \(q\) 的倍数的那部分数，那再加上 \(pq，2pq,3pq,...,\lfloor\frac{n}{pq}\rfloor pq\)，则 \(\phi(n)=n-\frac{n}{p}-\frac{n}{q} + \frac{n}{pq} = n\times (1-\frac{1}{p})\times (1-\frac{1}{q})\)

则当 \(n=p_1\times p_2\times p_3\times ...\times p_k\) 时，\(\phi(n)=n\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times (1-\frac{1}{p_3})\times ...\times (1-\frac{1}{p_k})\)

那么当质数的次数大于 \(1\)时，同上，则

\[\phi(n)=n \times (1-\frac{1}{p_1}) \times (1-\frac{1}{p_2}) \times ... \times (1-\frac{1}{p_k}) \]

2、性质

当 \(n,m\) 互质时，有 \(\phi(n)\times \phi(m)=\phi(nm)\)。

当 \(p\in prime\) 有 \(\phi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}\)。