分配问题

  考虑这样一个问题：
  有9个人和9个座位，如何给这些人分配座位能使所有人走过的距离之和最短？
  这个例子就是一个典型的分配问题，它的解如下图所示（红点：座位，黑点：人，灰点：人的初始位置）。当然，人和座位的位置可以是任意的，这里我们只展示了一种规则的情况：座位呈网格排列，人在座位四周呈圆周排列。

  求解分配问题可以有很多思路，我们介绍2种方法：
1. 最小代价流
  最小代价流是图论中的一种优化问题，我们还是用一个例子解释它的思想：假设双11期间，北京的快递公司有一批货物要用汽车发送到南京，这时他面临好几种选择，可以选择不同的中间城市和路线，不同路线对应的油费和高速费也不同。如果你是快递公司的经理，你如何选择路线并分配运输量才能使所有货物都能到达南京，而且花费最少呢？

  “最小代价流”中的“最小代价”就是指“花费最少”，“流”指的是货物像水流一样流过运输网络到达目的地，所以叫物流嘛！水流不必只走一条路线，而是可以同时流经多个路线。
  如果能将分配问题转变为最小代价流问题，就可以用图论中的方法求解了。这时我们需要做一下变换才能，首先要建立一个“图”（这里是指数学概念），将所有的“人”和“座位”都视为图的节点，任何一个“人”和一个“座位”节点之间都建立一条边，边的代价就是人到座位的距离，同时添加两个虚拟的节点：起点和终点。起点连接所有“人”的节点，终点连接所有“座位”的节点。不过，与起点和终点相连的边的代价都是0。

2. 整数规划
  整数规划是数学优化的一个分支，专门研究优化变量只能取整数的问题。这里我们需要将分配问题转化成整数规划的格式，才能用整数规划的方法求解。首先，考虑一个9X9的矩阵，这个矩阵的每个元素都只能取2个值中的一个：0或者1。假设第3行第2列的元素(3,2)值为1，表示第3个人坐到第2个座位。一个人只能占据一个座位，同时一个座位只能坐一个人。用矩阵表示就是：每行只能有一个元素取1，同理每列也只能有一个元素取1。优化目标定义为距离与变量矩阵的积。

  另一个例子，人的分布是随机的：

   另一个有趣的例子：