动态规划法

一、按照动态规划法的求解步骤分析作业题目“数字三角形”：
1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，说明方程式的定义、边界条件：
从三角形顶部出发，每次只能向下或向右下移动，最终到达底部时，找到一条路径上数字之和最大的路径。
①最优子结构性质：若要得到从第 i 行第 j 列元素到三角形底部的最大路径和，只需先得到其下方（i+1 行 j 列）和右下方（i+1 行 j+1 列）元素到底部的最大路径和，再加上当前元素值即可。
②递归方程式定义：设 dp [i][j] 表示从第 i 行第 j 列元素到三角形底部的最大路径和，递归方程式为：dp [i][j] = t [i][j] + max (dp [i+1][j], dp [i+1][j+1])
③边界条件：三角形最后一行到自身的最大路径和就是其自身值，即当 i 为三角形的行数 n-1时，dp [n-1][j] = t [n-1][j]
1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。以及原问题的最优值是哪个表格元素：
①表的维度：二维表格 dp，为 n×n。
②填表范围：表格的填充范围为第 i 行（0≤i≤n-1）的第 0 列到第 i 列（0≤j≤i）。
③填表顺序：由于 dp [i][j] 依赖于 dp [i+1][j] 和 dp [i+1][j+1]，需从底部向上填表。
④原问题的最优值：原问题的最优值为 dp [0][0]。
1.3 分析该算法的时间和空间复杂度
时间复杂度为 O (n²)，空间复杂度降至 O (n)。
二、你对动态规划算法的理解和体会
动态规划将大问题分解为小问题，通过存储小问题的最优解避免重复计算”，子问题存在重叠性，且具有最优子结构性质。需要定义状态、确定最优子结构、列出递归方程式、设定边界条件。