最大公约数和最小公倍数

最大公约数

假设用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数。

首先认识一个定理：

假设a、b均为正整数，则gcd(a, b) =gcd(b, a%b)。

证明：

设a = kb + r，其中k和r分别为a除以b得到的商和余数。

则有r = a - kb成立。

设d为a和b的一个公约数，

那么由r = a - kb，得d也是r的一个约数。

因此d是b和r的一个公约数。

又由r = a%b，得d为b和a%b的一个公约数。

因此d既是a和b的公约数，也是b和a%b的公约数。

由d的任意性，得a和b的公约数都是b和a%b的公约数。

由a = bk + r，同理可证b和a%b的公约数都是a和b的公约数。

因此a和b的公约数与b和a%b的公约数全部相等，故其最大公约数也相等，

即有gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。

证毕。

由上面这个定理我们可以发现：

1. 如果a<b，那么定理的结果就是将a和b交换。
2. 如果a>b，那么通过这个定理总可以将数据规模变小，并且减小的非常快。

这样我们其实就可以得出结果只不过还需要一个东西：递归边界。

我们知道：0和任意一个整数a的最大公约数都是a，这个结论就可以当作递归边界。

因此最大公约数的递归代码：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

int gcd(int a,int b)
{
    return !b? a : gcd(b,a%b);
}

最小公倍数

最小公倍数的求解是在最大公约数的基础上进行的。

当得到a和b的最大公约数d之后，可以马上得到a和b的最小公倍数是ab/d。这个公式的集合可以很好理解。（由于ab在实际的计算时有可能溢出，因此更恰当的写法是a/d*b）。

int gcd(int a,int b)
{
    return !b? a : gcd(b,a%b);
}

int lcm(int a,int b)  
{  
    return a/(gcd(a,b))*b;  //这里要先除后乘防止溢出
}