2021寒假每日一题《数列》

数列

题目来源：NOIP2006普及组
时间限制：\(1000ms\) 内存限制：\(64mb\)

题目描述

给定一个正整数 \(k\) ,把所有 \(k\) 的方幂及所有有限个互不相等的 \(k\) 的方幂之和构成一个递增的序列，例如，当 \(k=3\) 时，这个序列是：

\(1，3，4，9，10，12，13，…\)

该序列实际上就是：\(3^0，3^1，3^0+3^1，3^2，3^0+3^2，3^1+3^2，3^0+3^1+3^2，…\)
请你求出这个序列的第 \(N\) 项的值（ 用10进制数表示 ）。

例如，对于 \(k=3，N=100\) 时，正确答案应该是 \(981\) 。

输入格式

输入1行，为 \(k\)、\(N\) 两个正整数，用一个空格隔开。

输出格式

输出一个正整数为计算结果（在所有的测试数据中，结果均不超过 \(2.1∗10^9\) ）。
（整数前不要有空格和其他符号）。

数据范围

\(3 ≤ k ≤ 15\) ,
\(10 ≤ N ≤ 1000\)

样例输入

3 100

样例输出

981

解题思路

继续延长题目给出的串为 \(3^3，3^0+3^3，3^1+3^3，3^0+3^1+3^3，3^2+3^3，3^0+3^2+3^3，3^1+3^2+3^3，3^0+3^1+3^2+3^3，…\)
即： \(3，03，13，013，23，023，123，0123，…\)
规律并不是按多项式的项数来排列的，所以无法用排列数算出具体的项数。

第一个思路：

3的次方上面观察规律，即对 \(0，1，01，2，02，12，012，…\) 观察。
因为每一个次方的数在一项中仅出现一次，用二进制从右往左看，第几位有则第几位为1，其它位为0，比如第一项是 \(0\)，看成二进制从右往左第0位为1，即二进制的 \(1\) ；第二项是 \(1\) ，看成二进制从右往左第1位为1，即二进制的 \(10\) 。
所以上面的串可以转换为 \(1，10，11，100，101，110，111，…\)
然后发现这段就是二进制的 \(1，2，3，4，5，6，7，…\)
所以第100项为：\(1100100\)，即 \(2，5，6\) ，所以答案为 \(3^2+3^5+3^6=981\)

第二个思路：

观察数列 \(1，3，4，9，10，12，13，…\) 发现：
其用三进制的表示为 \(1，10，11，100，101，110，111，…\)
然后发现这段就是二进制的 \(1，2，3，4，5，6，7，…\)
由此得到题解，将输入的 \(N\) 用二进制的形式表示出来，然后再将其用 \(k\) 进制展开转换为10进制。

解题代码-Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int k = input.nextInt();
        String n = Integer.toBinaryString(input.nextInt());
        input.close();

        int j = n.length() - 1;
        int ans = 0;
        for (char ch : n.toCharArray()) {
            if (ch == '1') {
                ans += Math.pow(k, j);
            }
            j--;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}