高斯消元做题2

本文介绍有关高斯消元求解异或方程组的两道例题

P2447 [SDOI2010]外星千足虫

题目思路

如果没有第一问，那么就是简单的高斯求解异或方程组的题目

有了第一问可以想到二分，但是好像会\(TLE\)

这里，我们要想到高斯消元的求解步骤

假设当前在消第 i列，第 j 行，那么一定是从第 j 行向下找一个最小的 p ，满足\(bit[p][i]=1\)

那么我们第一问不就是所有的\(p\)求个min不就行了嘛

我写了两种答案

约旦代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
#define debug printf("aaaaaaaaaaa\n");
const int maxn=2e3+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=51123987,mul=233;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps=1e-7;
int n,m;
bitset<maxn> bit[maxn];
bool x[maxn];
char s[maxn];
int gs(int n){
    int ma=0;
    for(int i=1,pos;i<=n;i++){
        for(pos=i;pos<=m;pos++){
            if(bit[pos][i]!=0){
                ma=max(ma,pos);
                break;
            }
        }
        if(pos==m+1){
            return -1;
        }
        swap(bit[i],bit[pos]);
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i==j||bit[j][i]==0) continue;
            bit[j]^=bit[i];
        }
    }
    return ma;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x;i<=m;i++){
        scanf("%s %d",s+1,&x);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            bit[i][j]=s[j]-'0';
        }
        bit[i][n+1]=x;
    }
    int flag=gs(n);
    if(flag==-1){
        printf("Cannot Determine\n");
    }else{
        printf("%d\n",flag);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            printf(!bit[i][n+1]?"Earth\n":"?y7M#\n");
        }
    }
    return 0;
}

普通代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
#define debug printf("aaaaaaaaaaa\n");
const int maxn=2e3+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=51123987,mul=233;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps=1e-7;
int n,m;
bitset<maxn> bit[maxn];
bool x[maxn];
char s[maxn];
int gs(int n){
    int ma=0;
    for(int i=1,pos;i<=n;i++){
        for(pos=i;pos<=m;pos++){
            if(bit[pos][i]!=0){
                ma=max(ma,pos);
                break;
            }
        }
        if(pos==m+1){
            return -1;
        }
        swap(bit[i],bit[pos]);
        for(int j=i+1;j<=m;j++){
            if(bit[j][i]==0) continue;
            bit[j]^=bit[i];
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        x[i]=bit[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(bit[i][j]!=0)
            x[i]^=(x[j]^bit[i][j]);
        }
        x[i]^=bit[i][i];
    }
    return ma;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x;i<=m;i++){
        scanf("%s %d",s+1,&x);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            bit[i][j]=s[j]-'0';
        }
        bit[i][n+1]=x;
    }
    int flag=gs(n);
    if(flag==-1){
        printf("Cannot Determine\n");
    }else{
        printf("%d\n",flag);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            printf(x[i]?"Earth\n":"?y7M#\n");
        }
    }
    return 0;
}

P3164 [CQOI2014]和谐矩阵

题目思路

这个好像就是类似于开灯关灯问题

先把二维坐标映射成一位

所以直接列出异或方程组 进行求解

这里有一个关键的点在于全0满足答案，所以我要把所有的自由元设置为0

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
#define debug printf("aaaaaaaaaaa\n");
const int maxn=2e3+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=51123987,mul=233;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps=1e-7;
int n,m;
bitset<maxn> bit[maxn];
bool x[maxn];
char s[maxn];
int id(int x,int y){
    return (x-1)*m+y;
}
void gs(){
    int len=n*m;
    for(int i=1,pos;i<=len;i++){
        for(pos=i;pos<=len;pos++){
            if(bit[pos][i]!=0){
                break;
            }
        }
        if(pos==len+1){// 自由元直接设为1
            x[i]=1;
            continue;
        }else{
            swap(bit[i],bit[pos]);
        }
        for(int j=i+1;j<=len;j++){
            if(bit[j][i]==0) continue;
            bit[j]^=bit[i];
        }
    }
    for(int i=len;i>=1;i--){
        if(x[i]) continue;
        for(int j=i+1;j<=len;j++){
            x[i]^=(x[j]*bit[i][j]);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            bit[id(i,j)][id(i,j)]=1;
            if(i<n){
                bit[id(i,j)][id(i+1,j)]=1;
            }
            if(i>1){
                bit[id(i,j)][id(i-1,j)]=1;
            }
            if(j<m){
                bit[id(i,j)][id(i,j+1)]=1;
            }
            if(j>1){
                bit[id(i,j)][id(i,j-1)]=1;
            }
        }
    }
    gs();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cout<<x[id(i,j)]<<" ";
        }
        cout<<'\n';
    }
    return 0;
}