Hask 范畴上的函子

Hask 范畴上的函子

Functor 对应的是 Haskell 中的 typeclass (类型类)

例

class Functor (f :: * -> *) where
    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

这是 Haskell 中 Functor 的定义，Functor 映射态射的函数 fmap 没有定义。
用户自己给出 Functor instance 的 fmap 定义有没有可能不满足 Functor 两个公理？

第一个是有可能的

验证两个公理

1. \(F(id_A) = id_{F(A)}\)

反例

data T a = A | B deriving (Show, Eq)

instance Functor T where
  fmap f A = A
  fmap f B = A
  -- fmap f = \_ -> A

g = fmap id A
g' = fmap id B

g'' = B == g'

此处 g'' 将返回 False，fmap id B = A，也就是说 fmap id != id

此处 HLS 仍有 lhint 提示:

Functor law
Found:
  fmap id
Why not:
  id

上例中

• T :: 假设是 functor

• a, T a, f a, T (f a) :: object. 此处 T 将所有 object 映射到同一 object，方便起见记为 T _

• a, f a 在 Hask 的一个 subcategory，T a 和 T (f a) 在另一个 subcategory

• A, B :: T _ 这一 object 的 element

• T f :: T _ 这一 object 上的 endomorphism

2. \(F(f\circ g) = F(f) \circ F(g)\)

不知道，群友说由 parametricity 保证

包括 f :: a -> a 推得 f = id 这种东西，我觉得是对的，但我不知道怎么证明。可能需要更多知识，但我连有几种多态都没记住，哈哈