基础拓扑学讲义 1.9 Seifert–van Kampen 直观与举例

Seifert–van Kampen 直观与举例

定理内容

此定理提供了从 \(X_1, X_2, X_1\cap X_2\) 的基本群得到 \(X_1\cup X_2\) 基本群的一种方法

\(X=X_1\cup X_2, X_0 = X_1\cap X_2 \ne \emptyset, X_0\) 道路连通，则 \(\forall x_0 \in X_0\)

\[\begin{aligned} \pi_1(X,x_0)\cong& (\pi_1(X_1,x_0) * \pi_1(X_2,x_0))~/\\ &[\{(i_1)_\pi(\alpha)(i_2)_\pi(\alpha^{-1})~|~\alpha \in \pi_1(X_0,x_0)\}] \end{aligned} \]

其中 \(i_1: X_0\to X_1, i_2: X_0\to X_2\) 是包含映射，\(*\) 是自由积，\([A]\) 是 \(A\) 生成的正规子群

定理动机

知乎上有人类比，这个定理类似 \(A\cup B = A+B-A\cap B\)

假定 \(X_0\) 里有个洞，那么 \(X_0\) 不单连通，基本群 \(\pi_1(X,x_0)\) 也不是平凡子群，\(a,b\) 分属不同道路类。

具体看上图例子，应该有 \(\pi_1(X_0,x_0)\cong \pi_1(X,x_0)\cong \pi_1(X_1,x_0)\cong \pi_1(X_2,x_0)\cong \Z\)

可以发现存在重复：在自由积 \(\pi_1(X_1,x_0) * \pi_1(X_2,x_0)\) 当中，loop1: (X1.a)(X2.a) 和 loop2: (X2.a)(X1.a) 分属两个不同的等价类，而在 \(\pi_1(X,x_0)\) 中，这两个闭路属于一个等价类

如何把这种重复消去？定理通过商群 \(H\) 将其模掉，这需要 \(loop_1 H = loop_2 H\)

正规子群构造

\(\{(i_1)_\pi(\alpha)(i_2)_\pi(\alpha^{-1})~|~\alpha \in \pi_1(X_0,x_0)\}\) 记为 \(R\)，定理中商群 \(H\) 取自从 \(R\) 生成的正规子群 \([R]\)，生成正规子群有两种方法

第一种是取所有包含 \(R\) 的 \(F(S)\) 正规子群的交 \(\bigcap_{R\subset N\unlhd F(S)} N\)
第二种是取 \([R]\) 所有子集的并 \(\bigcup_{g\in F(S)}g\langle R\rangle g^{-1}\) 记为 \(B\)，然后再取这个集合的生成子群 \(\langle B \rangle\)

第一种没什么操作性，分析一下第二种。其中 \(\langle R \rangle\) 表示 \(R\) 的生成子群（\(F(S)\) 中包含 \(R\) 的最小子群）

首先要说明它是子群

\(\langle B \rangle\) 是生成子群，因而是 \(F(S)\) 的子群
其次要说明它正规
- 首先证明 \(\forall p\in F(S)\)，\(pB = Bp\)。
  
  由 \(B\) 的定义，\(\forall b\in B\) 可表示为 \(grg^{-1}\)，其中 \(r\in \langle R \rangle, g\in F(S)\)
  
  又由定义可知 \((pg)r(pg)^{-1}\in B\)，于是 \(pb = p(grg^{-1}) = pgrg^{-1}(p^{-1}p) = (pgrg^{-1}p^{-1}) p\)，于是 \(B\) 是正规子群
- 于是可以证明 \(\forall p \in F(S)\)，\(p\langle B \rangle = \langle B \rangle p\)
  
  由 \(\langle B \rangle\) 定义，\(\forall \beta \in \langle B\rangle\)，可表示为 \(\beta = b_1b_2...b_n, b_i\in B\)
最后要说明它是包含 \(R\) 的最小正规子群

由定义知 \(\langle R \rangle \subset B\)（取 \(g=e\)），且
\(\langle R \rangle\) 是正规子群 \(\langle B \rangle\) 的子群，由正规子群判定条件，应有 \(\forall g\in F(S), g\langle R \rangle g^{-1}\subset [R]\)，故有 \(\langle B \rangle\subset [R]\)，因而最小是合理的

综上 \([R] = \langle B \rangle\)

去重

回到例子中，按上面所说 \([R] =\langle B \rangle= \langle ~ \bigcup_{g\in F(S)}g\langle R\rangle g^{-1} \rangle\)，要证 \(loop_1 [R] = loop_2 [R]\)

\[\begin{aligned} \langle R\rangle =&\langle \{(i_1)_\pi(\alpha)(i_2)_\pi(\alpha^{-1})~|~\alpha \in \pi_1(X_0,x_0)\}\rangle\\ =&\{(\alpha_1^1(\alpha_1^2)^{-1})^{m_1}...(\alpha_n^1(\alpha_n^2)^{-1})^{m_n} ~|~ m_i\in \Z, n\in \Z_{\ge 0}, \text{记 }\alpha_i^1 = i_1(\alpha_i), \alpha_i^2 = i_2(\alpha_i)\} \end{aligned} \]

上面举例的 loop1: (X1.a)(X2.a) 和 loop2: (X2.a)(X1.a) 按此记号表示为 \(l_1 = a^1a^2\) 和 \(l_2 = a^2a^1\)

要证 \(l_1[R] = l_2[R]\)

只需证 \(l_2^{-1}l_1[R] = [R]\)

只需证 \(l_2^{-1}l_1 \in [R]\)（当然 \(l_1^{-1}l_2\) 也行）

\[\begin{aligned} l_2^{-1}l_1 &= (a^2a^1)^{-1}a^1a^2 \\ &= (a^1)^{-1}(a^2)^{-1}a^1a^2\\ &= (a^1)^{-1}(a^2(a^2)^{-1})(a^2)^{-1}a^1a^2\\ &= ((a^1)^{-1}a^2)~\cdot~((a^2)^{-1}(a^2)^{-1}a^1a^2)\\ &\in \langle R\rangle [R]\\ &= [R] \end{aligned} \]

从这个例子可以看出来，当且仅当 \(l_2^{-1}l_1\in [R]\)，那么他们在新的商群当中就是等价的，无法区分。

反过来举例

\(l_1 = X_1.a, l_2 = (X_2.a)^{-1}\)，则有 \(l_2^{-1}l_1 = a^2a^1 \notin [R]\)，这说明 \(l_1, l_2\) 不是等价的

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