基础拓扑学讲义 1.8 用一点将连通集分割

用一点将连通集分割

看视频的记录

这位老师在视频中说到连通集的充要条件：

• \(X\) 是连通集 \(\Longleftrightarrow\) \(X\) 具有介值性

这里的介值性定义为：

• \(\forall f \in C(X,\R)\)，\(\forall a < b\in \R\)，且 \(f^{-1}(a), f^{-1}(b)\in X\)，那么 \(f^{-1}([a, b]) \subset X\)

证明

\(\Longrightarrow\)

反证，假设 \(X\) 不具有介值性，也就是说存在 \(f\in C(X,\R)\)，使得存在 \(a<b\in \R\) 满足 \(f^{-1}(a), f^{-1}(b)\in X\)，然而存在 \(c\in \R\) 且 \(a < c < b\)，使得 \(f^{-1}(c) \notin X\)

那么开集之并 \(f^{-1}(-\infin,c) \cup f^{-1}(c, +\infin) = X\)，同时交为空，于是 \(X\) 被点 \(c\) 的逆分割开，与连通性矛盾。

\(\Longleftarrow\)

依然反证，若 \(X\) 不连通，则分其为不交开集 \(U,V\) 且 \(U\sub V = X\)，构造连续映射 \(f\)：

• \(f(U) = \{1\},f(V)=\{0\}\)

显然不满足介值性。