数学分析(2): 序列定义与 δ−ϵ 定义

序列定义与 \(\delta-\epsilon\) 定义

函数极限

• 定义1：对任意满足 \(x_a\to a\) 的序列 \(\{x_n\}\)，相应函数值序列 \(\{f(x_n)\}\) 必有 \(f(x)\to f(a)\)，则记为

\[\lim_{x\to a}f(x) = f(a) \]

• 定义2：\(\forall \epsilon>0, \exists \delta>0\) 使得 \(\forall x, |x-a| <\delta\)，就有 \(|f(x)-f(a)| < \epsilon\)

等价性：2是区间，1是点列，2到1比较好证，显然。

1到2反证。

反证的假设是这样的：假设无论 \(\delta>0\) 取什么值，都存在 \(x_0\) 满足 \(|x_0-a|<\delta\)，然而 \(|f(x_0)-f(a)|\ge \epsilon\)

那么我们可以取定 \(\epsilon_0>0\)，同时令 \(\delta = 1/n\)，由上述假设中 \(x_0\) 的存在性，取出数列 \(\{x_n\}\)，与定义1的任意性矛盾。

函数点连续

\[\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0) \]

同极限