算法和数据结构 1 单调栈

单调栈

扯淡

计算机科学 和主流 数学 的区别在哪里？

计算机科学研究的对象是可数集合，是图灵机。他能够存取数据，每次进行有限步操作。图灵机的一个重要子集是下推自动机，下推自动机相较于有限状态机，区别在于多了一个栈，用来记录状态。

为什么用栈？我们知道，两个栈能模拟一个队列，两个队列也能模拟一个栈，这似乎说明两者有着某种相同的性质，单单从表面看，都不过是一种操作受限的线性表。

事实上，栈会把进入的数据反序，反两次就会变成顺序，因而两个栈模拟一个队列几乎没有任何性能损失；相反来看队列，为了做到先进后出，队列不得不以 O(n) 的复杂度来得到最先进入的元素。

这似乎说明栈有着比队列更为基础的性质。

单调栈和单调队列是进一步限定表内元素序关系的的线性表，跟逆序对一样，我几乎没见过哪本书详细剖析他们的性质。

反过来说，如果有哪本书详细讲到了，那么它名声却小到我都没有听说过，这实在是遗憾。

模板题

洛谷：P5788 【模板】单调栈

这里记录一下简单的思路：

• 倒着遍历数组 a：
  • 循环，若 a[i] >= stack.top() 则出栈。
  • 上一步停止时，若：
    1. stack.empty()，那么 a[i] 右边没有比他大的数
    2. !stack.empty()，那么 stack.top() 就是 a[i] 右边第一个比它大的数
  • stack.push(a[i])

这样的操作保证了两个事实：

1. 栈 stack 是单调的
2. 出栈操作停止时，栈顶元素（如果有）一定是第一个比自己大的元素

事实1 比较显然，下面看一下事实2

/// array /////////////////// top <- stack ////
... a, b ...                   c, d, e, f ...

数组遍历到 b ，出栈操作完成后，栈顶元素 c 必有 c > b。遍历到 a 时，b 已入栈：

/// array /////////////////// top <- stack ////
... a ...                      b, c, d, e, f ...

此时若

1. a<b，那么 b 一定是 a 右边第一个比 a 大的元素
2. a>=b，那之前被 b 出栈的元素就算不出栈，现在也要被出栈，所以没有影响

应用 1

Leetcode: 496. 下一个更大元素 I

nums1 是 nums2 的子集，这就是模板题。

class Solution:
    def nextGreaterElement(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> List[int]:
        tmp = {}
        stk = []
        for i in reversed(nums2):
            while(stk and i >= stk[-1]):
                stk.pop()
            tmp[i] = stk[-1] if stk else -1
            stk.append(i)
        return [tmp[i] for i in nums1]

应用 2