基础拓扑学讲义 1.0 一些命题

一些命题

一些平时见到的对拓扑空间性质的刻画

1

若开集 \(A, B\) 无交集，则其中一个的闭包与另一个集合仍然无交集，即
\(A\cap B = \emptyset \to \bar{A} \cap B = \emptyset\)

• 证1:

若 \(\bar{A} \cap B \ne \emptyset\)，则设 \(x\in \bar{A} \cap B\)
\(x\in B = B^\circ\)，于是存在开集 \(U\subset B\) 使得 \(x\in U\)
同时 \(x\in \bar{A}\to U\cap A \ne \emptyset\)，因而 \(A\cap B \ne \emptyset\)，矛盾

• 证2：

已知 \(A\subset B \to \bar{A} \subset \bar{B}\)
于是

\[\begin{aligned} & A\cap B = \emptyset \\ \to & A \subset B^c\\ \to & \bar{A} \subset \overline{B^c} = (B^\circ)^c = B^c \\ \to & \bar{A} \cap B = \emptyset \end{aligned} \]

2

将上面用于分离公理的 \(T4\) 的刻画

\(T4\)： \(A, B\) 是不交闭集，存在 \(A,B\) 不交开邻域
要证等价于 对任意闭集 \(A\) 和他的开邻域 \(W\) 存在 \(A\) 的开邻域 \(U\) 使得 \(\overline{U} \subset W\)

证明：
\(\Longrightarrow\):
\(A \cap W^c = \emptyset\)，由 \(T4\) 公理，存在 \(A, W^c\) 不交开邻域 \(U, V\)
可知 \(V^c \subset W\)，所以由上面结论有 \(\overline{U} \subset V^c \subset W\)

\(\Longleftarrow\):
\(A,B\) 是不交开集，则 \(B^c\) 是 \(A\) 开邻域，存在 \(A\) 开邻域 \(U\) 使得 \(\overline{U} \subset B^c\)，则 \(B \subset (\overline{U})^c = (U^c)^\circ\) 是 \(B\) 开邻域
因而 \(U, (U^c)^\circ\) 分别是 \(A, B\) 不交开邻域

3

\(\forall x \in A, \exists U \in \tau\) 使得 \(x\in U \subset A\) \(\Longrightarrow\) 集合 \(A\) 能通过集合族 \(\tau\) 中的元素并出来

\[A = \bigcup_{x\in A}U_x \]

纠结了半天这个交能不能取，毕竟要取一个可能不可数集的全部元素

但罗素说:

「如果有无穷多双袜子，那么从每一双里选出一只需要用到选择公理；而如果是鞋子则不需要。」

大概是想多了

4

度量空间点列 \(\{x_n\}, \{y_n\}\) 有:

\[d(x_n, y_n) \to 0 \]

问若 \(x_n\to x\)，那么是否有

\[d(x, y_n) \to 0 \]

从 \(\epsilon\) 语言来看，还是挺好证的

\(\forall \epsilon > 0, \exists N_1\) 使得 \(\forall n_1> N_1\) 有 \(d(x_{n_1}, y_{n_1}) < \epsilon/2\)
同时 \(\exists N_2\) 使得 \(\forall n_2> N_2\) 有 \(d(x, x_{n_2}) < \epsilon /2\)
故 \(\forall n > max(N_1, N_2)\) 有 \(d(x, y_n) < d(x, x_n) + d(x_n, y_n) < \epsilon\)