洛谷P1447 能量采集
题目描述
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。
由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中，总共产生了36的能量损失。
输入输出格式
输入格式：
仅包含一行，为两个整数n和m。
输出格式：
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
输入输出样例
说明
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
分析
容斥大法好，莫比乌斯一点也看不懂....
仔细观察一下，应该能发现点(x,y)能量损失为gcd(x,y)*2-1。关键怎么求所有点的能量损失之和？
1，暴力枚举所有的点。显然是会超时的。
2，枚举gcd(x,y)=k的点的个数，x,y的限制不同无法用欧拉函数去做。但是可以用容斥原理去做。
设g[x]为公约数为x的所有点的个数(不是最大公约数),f[x]是最大公约数为x的所有点的个数。
初始条件：根据乘法原理横坐标有n/x种选择,纵坐标有m/x种选择，即g[x]=(n/x)*(m/x)。
f[min(n,m)]=1.(就是右上角的那个点)。
递推式：f[x]=g[x]-f[x*i](2<=i<=min(n,m)/x)，从后往前递推就行了。
最后的答案就是 sigma f[i]*(i*2-1) (1<=i<=min(n,m));
代码
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int n,m;long long ans,f[100010]; int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); int t=min(n,m); f[t]=1; for(int i=t;i>=1;--i){ f[i]=1ll*(n/i)*(m/i); for(int j=i*2;j<=t;j+=i) f[i]-=f[j]; } for(int i=1;i<=t;++i) ans+=(i*2-1)*f[i]; printf("%lld\n",ans); return 0; }
