【洛谷】【USACO】P1118 数字三角形
题目描述
FJ and his cows enjoy playing a mental game. They write down the numbers from 1 to N (1 <= N <= 10) in a certain order and then sum adjacent numbers to produce a new list with one fewer number. They repeat this until only a single number is left. For example, one instance of the game (when N=4) might go like this:
3 1 2 4
4 3 6
7 9
16Behind FJ's back, the cows have started playing a more difficult game, in which they try to determine the starting sequence from only the final total and the number N. Unfortunately, the game is a bit above FJ's mental arithmetic capabilities.
Write a program to help FJ play the game and keep up with the cows.
有这么一个游戏：
写出一个1～N的排列a[i]，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子：
3 1 2 4
4 3 6
7 916最后得到16这样一个数字。
现在想要倒着玩这样一个游戏，如果知道N，知道最后得到的数字的大小sum，请你求出最初序列a[i]，为1～N的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。
[color=red]管理员注：本题描述有误，这里字典序指的是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
而不是1，10，11，12，2，3，4，5，6，7，8，9[/color]
输入输出格式
输入格式：两个正整数n，sum。
输出格式：输出包括1行，为字典序最小的那个答案。
当无解的时候，请什么也不输出。（好奇葩啊）
输入输出样例
4 16
3 1 2 4
说明
对于40%的数据，n≤7；
对于80%的数据，n≤10；
对于100%的数据，n≤12，sum≤12345。
10分写法：啥也不输出（雾
60分解法：直接搜索，爆掉时间
100分解法：
我们可以采取一定的方法进行剪枝。显然可以发现，每一个数对于最终结果的贡献是一定的（通俗的说，譬如有序列a,b,c,d,那么最终结果为a*q+b*w+c*r+d*t，其中q、w、e、r是与层数有关的值，当层数一定时，q、w、e、r一定）。
当前点对结果的贡献系数=左下角的贡献系数+右下角的贡献系数
原因很简单，请大家先仔细思考，然后再往下看。
我们设当前点贡献系数为k，已知当前点值为w，左下角点值为w1+w，贡献系数为k1，右下角点值为w2+w，贡献系数为k2。
可以得到：w1*k1+w2*k2+w*(k1+k2)=w总
可以看出，w的系数为k1+k2,即当前点的贡献系数等于左下角贡献系数+右上角贡献系数。
但要想得到贡献系数必须倒着推，原题三角形倒过来，我们不难想到杨辉三角。
下面是程序，希望大家仔细研读，以便对杨辉三角这个神奇的东西有更深刻的理解！
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
const int MAXX=15;
int num[MAXX];
int delta[MAXX][MAXX];
bool b[MAXX];
int n,sum;
bool ok,zhi;
void dfs(int step,int summ)
{
if(step-1==n)
{
if(summ==sum)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",num[i]);
}
ok=true;
}
return;
}
if(summ>sum)return;
if(ok)return;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!b[i])
{
num[step]=i;
b[i]=true;
dfs(step+1,summ+i*delta[n][step]);
b[i]=false;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&sum);
for(int i=1;i<=n+1;i++)delta[i][1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=2;j<=n;j++)
{
delta[i][j]=delta[i-1][j]+delta[i-1][j-1];
}
}
dfs(1,0);
return 0;
}
另：可以将dfs的第二个参数sum设为全局变量，并将dfs递归部分改为：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!b[i])
{
num[step]=i;
b[i]=true;
summ+=i*delta[n][step];
dfs(step+1);
summ-=i*delta[n][step];
b[i]=false;
}
}
}
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
const int MAXX=15;
int num[MAXX];
int delta[MAXX][MAXX];
bool b[MAXX];
int n,sum;
bool ok,zhi;
void dfs(int step,int summ)
{
if(step-1==n)
{
if(summ==sum)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",num[i]);
}
ok=true;
}
return;
}
if(summ>sum)return;
if(ok)return;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!b[i])
{
num[step]=i;
b[i]=true;
dfs(step+1,summ+i*delta[n][step]);
b[i]=false;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&sum);
for(int i=1;i<=n+1;i++)delta[i][1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=2;j<=n;j++)
{
delta[i][j]=delta[i-1][j]+delta[i-1][j-1];
}
}
dfs(1,0);
return 0;
}
另：可以将dfs的第二个参数sum设为全局变量，并将dfs递归部分改为：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!b[i])
{
num[step]=i;
b[i]=true;
summ+=i*delta[n][step];
dfs(step+1);
summ-=i*delta[n][step];
b[i]=false;
}
}
}附加暴力写法（60分）：
#include<cstdio>
const int MAXX=15;
int delta[MAXX][MAXX];
bool b[MAXX];
int n,sum;
bool ok;
void dfs(int step)
{
if(step-1==n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n+1-i;j++)
{
delta[i][j]=delta[i-1][j]+delta[i-1][j+1];
if(delta[i][j]>sum)return;
}
}
if(delta[n][1]==sum)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",delta[1][i]);
}
ok=true;
}
return;
}
if(ok)return;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!b[i])
{
delta[1][step]=i;
b[i]=true;
dfs(step+1);
b[i]=false;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&sum);
for(int i=1 ; i <= n ; i++)
delta[1][i] = 1;
dfs(1);
return 0;
}