[ABC419E] E - Subarray Sum Divisibility

题目大意

给定一个长度为 \(N\) 的整数序列 \(A = (A_1, A_2, \ldots, A_N)\) 。

可以多次选择一个整数 \(i\) 使 \(1 \leq i \leq N\) ，并将 \(A_i\) 的值增加 \(1\) 。

以便对于每个长度为 \(L\) 的连续子数组 \(A\) ，求和是 \(M\) 的倍数。

在达到目标之前找到最小可能的操作次数。

分析

看到数据范围 \(1 \leq N, M \leq 500\)，很明显，应该是 \(O(N^3)\) 级别的做法，容易想到使用动态规划解决这个问题。

观察一下满足条件的数列的性质，发现当 \(i>L\) 是，有 \(A_i \equiv A_{i-L} \pmod{M}\)，所以确定了前 \(L\) 个数确定后即可确定后面的数。

考虑计算前 \(L\) 个数中的数改变后，对后面的数产生的影响而所产生的代价（包括自己）。

记 \(c_{i,j}\) 表示，下标模 \(L\) 为 \(i\)，数字（即所有对应的 \(A_i\)）模 \(M\) 为 \(j\)，所需要的代价。

这是容易计算的（实在不会见代码）。

接下来计算答案（只处理前 \(L\) 个），我们设 \(f_{i,j}\) 表示处理到第 \(i\) 个数，前 \(i\) 个数模 \(M\) 为 \(j\) 的最小代价。

则有转移：

\[f_{i,(j+k) \% M} = \min(f_{i-1,(j+k) \% M},f_{i-1,j}+c_{i,k}) \]

其实本质上是一个背包问题。

最终答案为 \(f_{L,0}\)。

下标建议从 \(0\) 开始，方便实现。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN=5e2+7;
const int inf=1e9+7;

int a[MAXN],n,l,m,f[MAXN][MAXN],c[MAXN][MAXN],g[MAXN];

signed main()
{
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&l);
	
	for(int i=0;i<n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
		
	for(int i=0;i<=500;i++)
		for(int j=0;j<=500;j++)
			f[i][j]=inf;
			
	for(int i=0;i<l;i++)
		for(int j=i;j<n;j+=l)
			for(int k=0;k<m;k++)
				c[i][(a[j]+k)%m]+=k;
	
	f[0][0]=0;
	
	for(int i=1;i<=l;i++)
		for(int j=0;j<m;j++)
			for(int k=0;k<m;k++)
				f[i][(j+k)%m]=min(f[i][(j+k)%m],f[i-1][j]+c[i-1][k]);
	
	printf("%d",f[l][0]);
	return 0;
}

谢谢观看！