概率期望题单+解析
概率
A - I NEED A OFFER!
背包问题。目标是让“没有任何学校录取”的概率最小。
设 \(dp[v]\) 为花费 \(v\) 时全部落选的最小概率，转移：\[dp[v] = \min\big(dp[v],\ dp[v - a[j]] \times (1 - p[j])\big) \]
B - ssworld VS DDD
预处理单局非平局的胜率 \(p\) 与败率 \(q\)（\(p+q=1\)）。
\(dp[i][j]\) 表示 A 还需赢 \(i\) 局、B 还需赢 \(j\) 局时 A 最终获胜的概率。\[dp[i][j] = \frac{p}{p+q}\,dp[i-1][j] + \frac{q}{p+q}\,dp[i][j-1] \]
C - Passage
选择最优策略：比较两扇门 \(a\) 和 \(b\)。
若 \(a\) 优于 \(b\)，则\[p_a + (1-p_a-q_a)p_b > p_b + (1-p_b-q_b)p_a \]化简得 \(\displaystyle\frac{p_a}{q_a} > \frac{p_b}{q_b}\)。
有钱时同理：只要钱没用完都可以重走，因而应“爱财”，尽量用更少的钱换更大的走出去概率。
按 \(\frac{p}{q}\) 降序排序后直接计算答案即可。
D - 糖果大战
赌徒破产模型。设 \(p\) 为非平局获胜概率，\(q=1-p\) 为失败概率。
\(f_i\) 表示 A 有 \(i\) 颗糖果时最终获胜的概率，边界 \(f_0=0,\ f_{n+m}=1\)。
状态转移：\[f_i = p\,f_{i+1} + q\,f_{i-1} \qquad (0<i<n+m) \]移项并构造差分 \(g_i = f_i - f_{i-1}\)，得 \(\displaystyle g_{i+1} = \frac{q}{p}\,g_i\)。
令 \(k = \frac{q}{p}\)，则 \(g_i = k^{i-1} g_1\)。
由 \(\sum_{i=1}^{n+m} g_i = f_{n+m} - f_0 = 1\) 得 \(g_1 = \frac{1-k}{1-k^{n+m}}\)。
最终 A 获胜概率：\[f_n = \sum_{i=1}^n g_i = \frac{1-k^n}{1-k^{n+m}} \]
E - Maximum Random Walk
状态 \(dp[i][j][k]\)：走了 \(i\) 步，当前位置 \(j\)，历史最右位置 \(k\) 的概率。
暴力计算所有状态的期望即可。
F - Bad Luck Island
\(1\le a,b,c \le 100\)，范围很小。
直接做三次 DP，每次计算一种生物存活的概率。
G - Walk
求不经过某点的概率较复杂，改为计算经过的概率。
枚举目标点，计算被经过的概率；为避免重复，将到达该点的路径截断（概率置 0），逐次累加即可。
H - Black Jack
庄家的策略是：只要未爆牌且点数不低于玩家，就继续拿牌。
因此玩家的最终点数会影响庄家的胜负。
先 DP 出玩家达到各点数的概率，再 DP 庄家面对该点数的失败概率，最后玩家选取最优决策下的获胜概率。
I - Hearthstone
题目求的是这一局的概率，所有排列构成基础事件空间。
不能仅以手牌类别计数，必须考虑抽取顺序，因而直接对牌库的全排列进行 DP。
期望
A - Race to 1 Again
常规期望 DP：
\[dp[i] = 1 + \frac{1}{cnt(i)}\sum_{d\mid i} dp[d] \]将右边的 \(dp[i]\) 项移项即可求解。
B - LOOPS
二维网格上的类似期望 DP。
C - Ilya and Escalator
\(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 秒时电梯里有 \(j\) 个人的概率。
最终期望为 \(\sum_{j} dp[t][j] \times j\)。
D - PLEASE
设 \(ans_i\) 为第 \(i\) 次后符合要求的概率，\(f_i\) 为分子。
总方案数为 \(2^i\)，有递推：\[ans_i = \frac{f_i}{2^i} = \frac{2^{i-1} - f_{i-1}}{2^i} = \frac12(1 - ans_{i-1}) \]构造等比数列解出通项：
\[ans_i = -\left(-\frac12\right)^{i-1}\cdot\frac13 + \frac13 \]\(i\) 为奇数时 \(ans_i = \frac{2^{i-1}-1}{2^{i-1}\times 3}\)，分子、分母中含因子 3，直接求逆元处理即可；偶数时类似。
E - Permutation Bo
计算每个位置成为前缀最大值的概率，再乘上该位置的数值求和。
仅一个元素时必贡献；一端固定时等价于从两个数中选最大；两端都不固定时等价于从三个数中选最大。
F - A Dangerous Maze
\[E = \sum (p_i \times t_i) + \sum\big(p_i \times (t_i + E)\big) \]移项化简即可。
G - Collecting Bugs
\(dp[i][j]\) 表示已找到 \(i\) 种类型、\(j\) 个子系统后，还需的期望天数。直接全期望转移。
H - Batting Practice
令 \(f_i\) 为已连续命中 \(i\) 次后的期望击球数，\(g_i\) 为已连续未命中 \(i\) 次的期望。
\[f_i = 1 + p\,f_{i+1} + q\,g_1 \]\[g_i = 1 + q\,g_{i+1} + p\,f_1 \]通过等比数列求和展开，联立两式解出 \(f_1,g_1\)，最终答案 \(ans = p\,f_1 + q\,g_1\)。
I - Desiderium
将区间分段，计算每一段被至少一个随机区间覆盖的概率，乘上段长求和即为期望。
J - Professor Tian
由于运算是位运算，可以拆位处理，记录每位为 0 或 1 的概率，最终组合得到期望。
K - 序列期望
直接按最大值计算不便，使用容斥：
用总和减去“所有元素均不超过某值”的情况，得到最大值恰为某值的情形数，进而求期望。
L - 聪聪与可可
预处理猫的最近步，记忆化搜索模拟老鼠的随机移动，时间在猫第一次移动时更新。
M - Gambling Guide
每点有两个选择：去票选的地点，或再买一次票（即重新随机选择邻点）。
最优策略一定是从期望步数小的点转移。终点期望为 0，以此为起点跑 Dijkstra。
设当前点 \(i\) 有 \(cnt_i\) 个邻点，其中 \(x\) 个点的期望更优，记它们的期望和为 \(sum_x\)，则\[dp[i] = \frac{sum_x}{cnt_i} + \frac{dp[i]\,(cnt_i - x)}{cnt_i} + 1 \]化简得 \(\displaystyle dp[i] = \frac{sum_x}{x} + \frac{cnt_i}{x}\)。
每次取期望最小的点更新，即可得到所有点的最优期望。
N - 收集邮票
不知最终花费总额，但知道平均还需走多少步。
花费与步数成线性关系，因此可将“还需步数的期望”作为单步费用。
设 \(f_i\) 为还需步数期望：\[f_i = f_{i+1} + \frac{n}{n-i} \]设 \(g_i\) 为还需花费期望，递推时将常数 \(1\) 替换为 \(f_i\)：
\[g_i = g_{i+1} + f_i \cdot \frac{n}{n-i} \]当费用是步数的线性函数时，该方法有效；若为非线性（如 \(x^2\)），则不能简单代入。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
double f[10005], g[10005];
signed main(){
cin >> n;
for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
f[i] = f[i+1] + 1.0 * n / (n - i);
for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
g[i] = g[i+1] + f[i] * n / (n - i);
printf("%.2lf", g[0]);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号