数学寄础

零、链接

行列式
随机游走概率
鞅定义
鞅与停时

一 、概率&期望

1、期望定义：

每次可能结果的概率乘以其结果的总和

2、期望性质(C是常数)

\(E(C)=C\)
$ E(x+y)=E(x)+E(y) $ (不要求独立)
$ E(xy)=E(x)* E(y)$ (要求独立)
\(E(Cx)=C*E(x)\)
$ E(x)/E(y) $ 表示在满足大情况的条件下 $ x/y $ 的期望

3、方差定义

设 \(X\) 为随机变量，若 \(E(X-EX)^2\)
存在， 则称为随机变量 \(X\) 的方差，记作 \(D(x)\) 或 \(Var(X)\)

4、方差性质

若 C 是常数 \(DC=0\)
\(D(CX)=C^2D(X)\)
\(D(aX+bY) = a^2D(X)+b^2D(Y)+2abE(X-EX)(Y-EY)\)
若 \(X,Y\) 相互独立，则
\(D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY\)
\(D( X+b) = D(X)\)其中b是常数
\(D(aX+b) = a^2D(X)\)
\(D(X) = E(X^2)-E^2(X)\)

5、条件概率

$ P(x|y) $ 表示在 \(y\) 事件发生情况下 \(x\) 事件发生的概率

贝叶斯公式：$ P(x|y)=\frac{P(y|x)* P(x)}{P(y)} $

当$ x \(、\) y $独立时，满足：

• $ P(xy)=P(x)* P(y) $
• $ P(x|y)=P(x) $
• $ P(y|x)=P(y) $

6、鞅与停时

离散时间鞅

定义离散时间鞅为一个时间离散的随机过程 \(\{X_0,X_1,\cdots\}\)，使得 \(\forall n\in N\)，均满足：
\(E(\mid X_n\mid)< \infty\)
\(E(X_{n+1}-X_n\mid X_0,X_1,\cdots,X_n)=0\)
根据这个，容易得到 \(E(X_n)=X_0\)。

停时定理

设 \(t\) 为鞅过程 \(\{X_0,X_1,\cdots\}\) 的停时，当下面三个条件之一成立时，有 \(E(X_t)=X_0\)：
\(t\) 几乎必然有界；
\(\mid X_{i+1}-X_i\mid\) 一致有界，\(E(t)\) 有限；
\(X_i\) 一致有界，\(t\) 几乎必然有限。

名词解释：
\(a\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}\) 有限：\(\mid a\mid <\infty\)；
\(a\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}\) 有界：\(\exists l,r\in \mathbb{R},a\in[l,r]\)；
\(a_i\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}\) 一致有界：\(\forall i,\exists l,r\in \mathbb{R},a_i\in[l,r]\)；
事件 \(A\) 几乎必然发生：\(P(A)=1\)。

势能函数

对于随机时间序列 \(\{A_0,A_1,\cdots\}\)，\(t\) 为其停时，终止状态为 \(A_t\)，求 \(E(t)\)。
构造势能函数 \(\Phi(A)\)，满足：
\(E(\Phi(A_{n+1})-\Phi(A_n)\mid A_0,A_1,\cdots,A_n)=-1\)；
\(\Phi(A_t)\) 为常数，且 \(\Phi(A_i)=\Phi(A_t)\) 当且仅当 \(i=t\)。
构造序列 \(X_i=\Phi(A_i)+i\)，则 \(E(X_{n+1}-X_n\mid X_0,X_1,\cdots,X_n)=0\)，即 \(\{X_0,X_1,\cdots\}\) 是鞅。
根据停时定理，我们可以得到 \(E(X_t)=E(X_0)\)，即 \(E(t)=E(\Phi(A_0))-\Phi(A_t)\)。

(上面那段是抄的)

总之需要满足每轮总期望比上一轮少\(1\)，终止状态期望为常数，再结合原题列式子

二 、线性代数

1、线性空间

定义：一个集合 \(S\) 和一个域 \(F\)，\(S\)上有对元素定义的加法， \(S\)和 \(F\)之间定义了乘法（数乘）

性质：

• \(S\)上加法满足交换和结合律
• \(S\)存在单位 \(0_S\) ,每个元素 \(a\) 存在逆元 \(-a\)
• \(1_F* a=a\) , \(p* 0_S=0_S\)
• 对于 $p,q\in F , a,b\in S $ 满足 $ (p+q)a=pa+pb,(pq)a=p(qa)$

2、线性相关

设 \(S\) 为 \(F\) 上的线性空间，$ \beta= { b_1,...,b_m$}为 \(S\) 的一个子集。若存在不全为 \(0\) 的\(p_1,...,p_m\in F\) 使得\(p_1b_1+...+p_mb_m=0\)，则称 $ \beta $ 线性相关。否则称 \(\beta\) 线性无关。

\(eg\): 当 \(b_1=[0,1,1],b_2=[1,1,0],b_3=[-1,0,1]\) 时，可以找到一组 $ p $ , $ p_1=1,p_2=-1,p_3=-1 $ , 所以 \(b\) 线性相关

说通俗点，就是想把 \(\beta\) 消成零

3、基

若一组线性无关的 \(S\) 的子集可以通过加减，乘以一个实数来表示一个集合所有的元素，那么这个子集就是 \(S\) 的基

4、替换定理

定义：

设 \(\alpha=\{a_1,...,a_n \}\) 为有限线性空间 \(S\) 的一组基，\(\beta=\{b_1,...,b_m\}\) 是 \(S\) 中的线性无关组，则存在 \(\alpha'\in\alpha\) 使得 \(\beta\cup\alpha'\) 仍为 \(S\) 的一组基，且 \(|\alpha'|=n-m\)

证明：

前置知识：数学归纳法

• 基础：有一个 \(n=0\) 或 \(n=1\) 的情况成立

• 归纳：从 \(n-1\) 的情况成立推至 \(n\) 的情况成立

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使用数学归纳法。

很容易得到，当 \(m=0\) 时，替换定理成立

对于 \(m>0\) 的情况，可以得到 \(\beta_{1...m-1}\cup\alpha'_ {1...n-m+1}\) 为 \(S\) 中的一组基。所以 \(b_m\) 可以被 \(\beta_{1...m-1}\cup\alpha'_ {1...n-m+1}\) 表示，又因为 \(\beta\) 是线性无关组，所以表示方法中必然有 \(\alpha'\) 的元素

也就是说 \(k_1b_1+k_2b_2+...+xa_y=b_m\) , 移向得 \(a_y=\frac{-k_1b_1-k_2b_2-...-k_{m-1}b_{m-1}+b_m}{x}\) 所以说用 \(\beta\) 中的数可以表示 \(\alpha'\) 的数 ，所以 \(\beta\cup\alpha'\) 为 \(S\) 中的一组基

推论：

• \(S\) 中的所有基的大小相等，将其定义为 \(dim_S\) 。同时大小为 \(dim_S\) 的线性无关组都是 \(S\) 的一组基

四、矩阵

五、线性基

1、

2、

3、

4、线性基求交

六、行列式

前置知识：

奇排列：逆序对个数为奇数的排列

偶排列：逆序对个数为偶数的排列

性质：

一堆性质（图片参考链接）：
1.交换两行行列式取反
2.交换 1 行与 1 列（进行一次矩阵转置），行列式不变
3.翻转后，值不变
4.行列式的行（列）所有元素等比例变化，则行列式也等比例变化
5.行列式中某一行等于另外两行列式对应行的元素之和，那么\(det(A)=det(B)+det(C)\)
6.如果一个矩阵存在两行（列）成比例则\(det(A)=0\)
7.把一个矩阵的一行（列）的值全部乘一个常数加到另一行（列）上，行列式值不变。

七、群论