数论寄础

负一、学习链接

莫反基础
素数

零、前置知识

二项式定理：\(\sum\limits_{i=0}^nC_k^i\times a^i\times b^{n-i}=(a+b)^k\)

常见用法：\(\sum\limits_{i=0}^nC_k^i\times -1^i=(1+(-1))^k\)

约数函数性质: \(d(i\times j)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\)

高维情况: \(d(ABC) = \sum\limits_{x|A} \sum\limits_{y|B} \sum\limits_{z|C} [\gcd (x,y) = 1] [\gcd (y,z) = 1] [\gcd (x,z) =1]\)

一、亿些定义

积性函数：\(\forall a\perp b , f(ab)=f(a)f(b)\)

完全积性函数：\(\forall a,b,f(ab)=f(a)f(b)\)

性质：若 \(f,g\) 均为积性函数，则\(f* g\) 也是积性函数

例子：

• 单位函数：\(e(n)=[n=1]\)

• 恒等函数：\(id(n)=n,id_k(n)=n^k\)

• 常数函数：\(I(n)=1\)

• 欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]\)

二、整除分块

可参考整除分块向上以及向下取整

适用情况：\(\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\)

复杂度：\(O(\sqrt{n})\)

单个参数：

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
	r=n/(n/l);
	ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

两个参数情况：

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
	r=min(n/(n/l),m/(m/l));
	ans+=(r-l+1)*val(n/l,m/l);
}

三、迪利克雷卷积\((Dirichlet)\)

数论函数 \(f,g\) 的迪利克雷卷积定义为：

\(h(n)=\sum \limits_{d|n}f(d)g(n/d)\)

记为 \(h=f* g\)

性质：满足交换律、结合律、分配律

定理：若 \(f,g\) 均为积性函数，则\(f* g\) 也是积性函数

四、莫比乌斯反演

前置知识：

莫比乌斯函数:

当 \(n=1\) 时，\(\mu(n)= 1\)

当 \(n\) 含有平方因子时，\(\mu(n)= 0\)

当 \(n\) 有 \(k\) 个不同的质因子时，\(\mu(n)= (-1)^k\)

---

定理1：\(\mu* I=e\) 即 \(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)

证明： \(n=1\) 时显然，\(n>1\)时，产生贡献的因子都可以互相抵消
严谨证明： 设 \(n=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{c_i},n'=\prod\limits_{i=1}^kp_i\)
则\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\sum\limits_{d|n'}\mu(d)=\sum\limits_{i=0}^kC_k^i*(-1)^i=(1+(-1))^k\)
得证。

定理2：\(f* I=g\Leftrightarrow f=g*\mu\)

证明：两边同时卷上 \(\mu\)

五、欧拉函数

定理：\(\varphi* I=id\)

证明：\(\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i,d|n}\mu(d)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^n[d|i]=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}=\mu* id\)

所以\(\varphi=\mu*id\)
故 \(\varphi* I=id\)

常用变形：\(\gcd(i,j)=\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\varphi(d)\times I(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|i}\sum\limits_{d|j}\varphi(d)\)

六、O(n)筛法

void pre(){
	vis[1]=g[1]=f[1]=mu[1]=phi[1]=d[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			pri[++tot]=i;//质数 
			phi[i]=i-1;//欧拉函数 
			mu[i]=-1;//莫比乌斯 
			d[i]=2;//约数个数 
			num[i]=1;//最小质因子个数 
			f[i]=i+1;//约数和 
			g[i]=i+1;//最小质因子的等比数列 
		} 
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				mu[i*pri[j]]=0;
				num[i*pri[j]]=num[i]+1;
				d[i*pri[j]]=d[i]/num[i*pri[j]]*(num[i*pri[j]]+1);
				g[i*pri[j]]=g[i]*pri[j]+1;
				f[i*pri[j]]=f[i]/g[i]*g[i*pri[j]];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			d[i*pri[j]]=d[i]*2;
			num[i*pri[j]]=1;
			f[i*pri[j]]=f[i]*f[pri[j]];
			g[i*pri[j]]=pri[j]+1;
		}
	}
}

推柿子时尽量往整除分块或者能预处理的函数方向推

七、杜教筛

要求\(S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)
构造积性函数 \(h,g\)，使得 \(h=f*g\)。
有：\( \sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}f(i)\\ =\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)S(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor) \)
所以，有：\( S(n)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)-\sum\limits_{d=2}^{n}g(d)S(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)}{g(1)} \)
于是我们只要能快速算出 \(h、g\) 的前缀和就可以了。

int summu(int n){
	if(n<=maxn) return mu[n];
	if(smu.find(n)!=smu.end()) return smu[n];
	int sh=1;
	for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		sh-=(r-l+1)*summu(n/l);
	}
	return smu[n]=sh;
}
int sumphi(int n){
	if(n<=maxn) return phi[n];
	if(sphi.find(n)!=sphi.end()) return sphi[n];
	int sh=(1+n)*n/2;
	for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		sh-=(r-l+1)*sumphi(n/l);
	}
	return sphi[n]=sh;
}