博弈论进阶

由于之前写的太垃圾，所以有了这篇

一、基础博弈

1.基本定理

• 先手必胜当且仅当先手可以把当前状态转移到先手必败态

• 先手必败当且仅当先手不能将当前状态转移至先手必败态

2.如何证明博弈推论成立

• 确定必败和必胜态

• 最终态是必败态

• 必胜态可以走到必败态

• 必败态只能走到必胜态

3.SG函数

以有向无环图博弈为例，$SG(i) = mex{SG(j)|(i,j)∈E}$，其中 $mex$ 表示集合中没有出现过的最小的非负整数。则先手必胜当且仅当 $SG(1)≠0$ 。

证明: 若 $SG(i)=0$ ，则出边中不含有 $SG(j)=0$ 的点，即无法走到先手必败态;若 $SG(i)≠0$，则存在一个出边使得 $SG(j)=0$ ，即先手必败态。 因此事实上判断单个有向无环图博弈结果只需 $0,1$ 状态即可。

4.子游戏

还是以有向无环图博弈为例，只是一次游戏变成了有多个 $DAG$

SG定理 : 先手必胜当且仅当这几个 $DAG$ 起点的 $SG$ 值异或不为 $0$。

证明 : 若异或值为 $0$ ，则显然先手无论如何操作都会将某个 $DAG$ 的 $SG$ 值改变，从而使得异或值非零，即先手必胜；若异或值非 $0$，则总能有一种挑选方法使得异或值为 $0$ 。

二、博弈进阶

1.阶梯 $Nim$

有 $n$ 堆石子放在 $n$ 级楼梯上，楼梯编号为 $1...n$（地面为 $0$ 层），每堆有 $a_n$ 个石子。 两人轮流游戏，每次将任意堆 $i$ 中的任意个石子但至少一个移动到它的相邻层 $i - 1$。 直到所有石子都移动到地面，最后移动的为胜者。

解法：只需将奇数层的位置进行 $Nim$ 游戏即可，即把奇数层的 $SG$ 函数异或起来

证明：石子在偶数位置的操作是是可以在下一位模仿的，所以只看奇数位就够了

2.$K-nim$

两人取石子，每个人可以从至多K堆中取至少一枚石子，取不了的人输。

定理 : 先手必败当且仅当 $n$ 堆石子写成二进制后，每一位上都有 $K＋1$ 倍数个 $1$ (相当于写成二进制后做 $K＋1$ 进制下不进位加法)。

即 $SG_i=i\%(K+1)$，当 $SG$ 异或和为零时，先手必败

证明：当 $SG$ 函数异或和为零是，因为最多只能选 $K$ 个，所以并不能使异或和等于零；当 $SG$ 不为零时，因为是 $K+1$ 进制数，且不为零，所以选至多 $K$ 个时，是可以使异或和再次为零

3. $Anti-SG$

规则变换为游戏中不能操作的人胜利

定理：满足以下任意一个条件时先手必胜

• 游戏的 $SG$ 值的异或和不为零且某个游戏 $SG$ 值 $>1$

• 游戏的 $SG$ 值的异或和为零且所有游戏的 $SG$ 值 $<=1$

证明：