【笔记】二分答案的两种形式

壹

\(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=(a_1,a_2,\dots,a_n)\)，要让 \(\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 最小或 \(\min\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 最大。

如果直接 DP 考虑让每一个 \(a_i\) 都尽量小，是不满足最优子结构的。如果记上 \(\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 进行 DP，复杂度会爆炸。

二分答案 \(X\)，DP 让每一个 \(a_i\) 尽量小，但是在 DP 的过程中让不满足 \(a_i\le X\) 的状态不进行转移。子结构间互不影响，转移到父结构的子结构都满足 \(a_i\le X\) 的限制，DP 正确性就有保证了。

我们刚才讲的是 DP，要 DP 的话转移关系肯定是线性的，树形 DP 或者就最普通的 1D/1D DP 都算。但是像 Nudist Beach 这道题，巧妙地考虑在最优情况下也取不到的点，然后 BFS 扩展删点。

贰

求满足函数 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n,T)\ge X\) 成立的 \(T\) 的最小值。

\(T\) 的值域极大，状态记下 \(T\) 就没法 DP。如果二分答案 \(T\)，限制就变成了判断 \(f_T(x_1,x_2,\dots,x_n)\ge X\) 是否成立。