树

树的应用

在计算机科学中，树是非常有用的抽象概念。

• 文件系统
• 算术表达式
• 搜索，特别是数据存储于磁盘时的搜索
• 数据结构的实现，如 TreeSet、TreeMap

树的定义

以递归的方式定义树。

• 树是一些节点的集合，该集合可以是空集，也可以不是空集。
• 如果不是空集，那么树由一个称为根的节点 root，以及 0 个或多个非空子树 T1, T2, ..., Tk 组成。子树都被来自根 root 的一条有向边所连结。

树的性质之点边的数量

• 如果树由 N 个节点，那么树必定有 N - 1 条边。
• 推导：除了根节点外，每个节点都被一条来自其父节点的有向边所连结。

树的基本概念

• 叶子节点：没有子节点的节点称为叶子节点。
• 兄弟节点：有相同父节点的节点之间称为兄弟节点。

路径

如果对于一个节点序列 N1, N2, ..., Nk，存在 1<= i <= k，节点 Ni 是节点 N(i+1) 的父节点都成立，那么该序列称为从节点 N1 到节点 Nk 的路径。

路径上边的数量称为路径的长，即 k - 1。

从每一个节点到自己有一条长为 0 的路径。

节点的深度

• 对于任意节点 N，节点 N 的深度是从根节点到 N 的路径的长。
• 根节点的深度为 0 。

节点的高度

• 对于任意节点 N，节点 N 的高度是从节点 N 到叶子节点的最长路径的长。
• 所有叶子节点的高度都为 0 。

树的高度和树的深度

• 树的高度等于其根节点的高度。
• 树的深度等于它的最深的树叶的深度。
• 也就是说，树的高度和树的深度总是相等的。

树的前置知识

• 递归
• 对数
• 基本常识：文件系统、搜索、大自然树图、房间和储物柜
  • 大自然树图：只有根、树枝、树干、叶子
  • 房间和储物柜：培养目录层级思维

文件系统

• 在 UNIX 系统中，目录就是包含其所有儿子的一个文件。
• 实际上，UNIX 系统中的目录还包含了 2 项，分别指向目录本身以及父级目录。因此，从技术上说，UNIX 文件系统不是树，而是类树。
• 练习1：写出遍历打印目录内容的伪代码。分析其时间复杂度。
• 练习2：写出统计文件占用的磁盘区块的个数的伪代码。

// 练习1
public void list() {
    listRecursive(0);
}

public void listRecursive(int depth) {
    // 打印文件名，需要控制缩进
    print(depth);
    // 如果当前文件是一个目录，那么递归处理目录里的文件
    if (isDirectory) {
        for (File child: getChildren()) {
            child.listRecursive(depth + 1);
        }
    }
}

// 练习2
public long size() {
    // 获取当前文件的大小
    long totalSize = getSize();
    // 如果当前文件是一个目录，那么递归处理目录里的文件
    if (isDirectory()) {
        for (File child : getChildren()) {
            totalSize += child.size();
        }
    }
    return totalSize;
}

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树的遍历

• 先序遍历（preorder traversal）：先处理节点，再处理子节点。

• 后续遍历（postorder traversal）：先处理子节点，再处理节点本身。

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二叉树的定义

• 二叉树是一颗树，其任意节点的子节点不超过 2 个。
• 二叉树的左右子树都可能为空。

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二叉树的平均深度

如果二叉树的节点数为 N，那么根据二叉树的不同形态，得到的二叉树的深度是不同的。

定义：节点数为 N 的二叉树的平均深度，是指不同形态二叉树的深度的平均值。

这个是我自己定义的二叉树平均深度。求所有形态下二叉树的平均深度。

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• 一颗平均二叉树的深度要比节点数 N 小得多，即 O(根号 N)。没见过这个定义。

• 二叉查找树的平均深度为 O(log(N))，但最大深度可达 N-1。

• 一颗二叉树的节点数为 N，那么二叉树有 N+1 条 null 链。

二叉树的实现

class BinaryNode {
Object element;
BinaryNode left;
BinaryNode right;
}

表达式树

• 叶子节点表示操作数，如常数或变量。

• 非叶子节点表示操作符。

表达式树的练习

• 将中缀表达式转为表达式树

• 将后缀表达式转为表达式树

• 将表达式树转为中缀表达式

• 将表达式树转为后缀表达式

• 将中缀表达式转为后缀表达式

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二叉查找树

当二叉树满足以下性质时，二叉树就变成了二叉查找树。