算法作业第五章

1.1 解空间定义

解空间由所有满足“总价格不超过阈值d”的供应商选择方案构成。其中，每一个合法解对应一个长度为n的向量（n为部件总数），向量中每个元素表示对应序号部件所选择的供应商编号。从理论上看，解空间的最大规模为mⁿ（m为每个部件可选的供应商数量），但实际解空间仅包含满足总价格≤d约束条件的方案，因此实际规模远小于理论最大值。

1.2 解空间树结构（深度为n）

解空间以树形结构呈现，各层级结点的含义与结构特征如下：

1. 根结点（第1层）：作为解空间树的起始结点，代表尚未为任何部件选择供应商的初始状态；
2. 中间结点（第k层，1<k<n）：对应“已为前k个部件完成供应商选择”的状态，从根结点到该结点的路径构成一个“部分解”（即仅完成部分部件的供应商选择，未覆盖全部n个部件）；
3. 子结点规则：每个非叶子结点包含m个子结点，每个子结点分别对应“为下一个（第k+1个）部件选择某一个特定供应商”的决策；
4. 叶子结点（第n层）：代表已完成所有n个部件的供应商选择，对应解空间中的一个完整候选方案。

1.3 遍历过程中结点的状态参数

在回溯法遍历解空间树的过程中，每个结点需维护以下核心状态值，用于决策、剪枝与最优解记录：

1. 当前层数t：标识遍历进度，含义为“已完成前t-1个部件的供应商选择”，即将对第t个部件进行供应商决策；
2. 当前总价格curprice：累计已选择的t-1个部件的价格总和，用于校验是否满足价格约束；
3. 当前总重量curweight：累计已选择的t-1个部件的重量总和，是评估解优劣的核心指标；
4. 最小重量记录weight：保存遍历过程中已发现的、满足总价格约束的方案中最小的总重量，作为后续剪枝的限界依据；
5. 部分最优解cursupplier[]：数组类型，记录前t-1个部件所选择的供应商编号，构成当前路径的部分解；
6. 全局最优解supplier[]：数组类型，最终保存对应“最小重量weight”的完整供应商选择方案，即问题的最优解。

1.4 对回溯法的核心理解

回溯法是一种基于深度优先搜索（DFS）遍历解空间的优化搜索算法，核心目标是高效寻找问题的最优解（或所有可行解）。其核心思想可拆解为“逐步构建-校验剪枝-回溯调整”三步：

1. 逐步构建候选解：从根结点出发，按照解空间树的层级依次为每个部件选择供应商，逐步拼接完整的候选解（从部分解到完整解）；
2. 约束与限界剪枝：在构建候选解的过程中，实时校验当前状态（如curprice是否超过阈值d）：若违反约束条件（如curprice>d），或当前状态的潜在最优解已劣于已发现的最优解（如curweight≥weight），则触发“剪枝”——放弃对当前结点后续子树的遍历，避免无效搜索；
3. 回溯尝试其他选择：剪枝后或遍历完某一结点的所有子结点后，回退到上一层结点，撤销当前层的供应商选择决策，尝试该结点的下一个子结点（即下一个供应商选择），直至遍历完整个解空间树。

简言之，回溯法并非盲目枚举所有候选解，而是通过“走不通就回头”的回溯机制，结合约束条件（过滤非法解）和限界条件（过滤非最优解）剪枝无效分支，大幅缩减搜索空间，最终在有效遍历范围内找到满足约束的最优解。这种“试探-校验-回溯”的逻辑，是回溯法区别于暴力枚举的核心特征，也是其在组合优化问题中提升搜索效率的关键。