算法作业第四章

一、问题定位：选点问题的核心应用

本代码针对的是经典的活动选择问题（选点问题的典型应用场景），问题描述如下：给定n个代表活动的时间区间（对应代码中会议的开始时间c[i].a和结束时间c[i].b），需从中选取数量尽可能多的互不重叠区间（即无法同时开展的活动），最终求解最多可选中的区间数量。

代码采用“选点”思路实现该问题的求解：每选定一个区间，等价于在该区间的结束位置选取一个点；后续选中的区间必须从该点之后开始（即满足p < c[i].a，其中p为上一个选中区间的结束点）。通过统计最终选中的区间数量，即可得到最大不重叠区间数。

二、贪心策略的具体实现

该算法的核心贪心策略为：每次从当前所有可选区间中，选择结束时间最早的区间。具体执行流程如下：

1. 排序预处理：将所有区间按照结束时间从小到大排序（对应代码中的sort(c, c + n, cmp)，cmp函数依据结束时间b实现升序排列）；
2. 初始化操作：选定排序后第一个区间（即结束时间最早的区间），记录其结束时间p = c[0].b，并将最大可选数量初始化为ans = 1；
3. 遍历筛选：遍历剩余所有区间，若当前区间的开始时间c[i].a大于上一个选中区间的结束时间p（表明两个区间无重叠），则选中该区间，同时更新p为当前区间的结束时间，并将ans加1；
4. 结果输出：遍历完成后，ans即为最多可选择的不重叠区间数量。

三、贪心选择性质的证明

贪心选择性质的定义是：全局最优解可通过一系列局部最优选择（贪心选择）逐步构造，即每一步的局部最优决策最终能导向全局最优解。以下证明该算法的贪心策略满足此性质：

符号定义

设所有区间的集合为S，按结束时间升序排列后的区间序列为c₀, c₁, ..., cₙ₋₁（其中c₀为结束时间最早的区间）；OPT(S)表示集合S的全局最优解（即最多不重叠区间数量）。

证明步骤

1. 基础情况验证：

   • 若S为空集，则OPT(S)=0；
   • 若S仅包含一个区间c₀，则OPT(S)=1。
     两种情况下，贪心选择均能直接得到最优解。

2. 核心推导过程：
   假设OPT(S)是S的一个全局最优解，且OPT(S)中第一个选中的区间为cₖ（k ≥ 0）：

   • 若k=0：说明OPT(S)本身以贪心选择的c₀作为首个区间，后续只需求解S中所有与c₀不重叠的区间子集S'的最优解，即OPT(S) = 1 + OPT(S')，贪心选择有效；
   • 若k>0：由于c₀的结束时间早于cₖ（排序的固有性质），且cₖ与OPT(S)中后续区间均不重叠，因此c₀与cₖ之后的所有区间也必然不重叠。此时将OPT(S)中的cₖ替换为c₀，得到新解OPT'(S)。
     由于仅替换了一个区间，OPT'(S)的区间数量与OPT(S)完全相同，因此OPT'(S)也是S的全局最优解，且OPT'(S)以贪心选择的c₀作为首个区间，后续求解S'的最优解即可。这表明选择c₀这一局部最优决策，能够构造出全局最优解。

3. 归纳推广结论：
   对于算法每一步的选择，均可通过上述推导证明：选择当前结束时间最早的区间（局部最优），最终能构造出全局最优解。因此该算法满足贪心选择性质。

四、时间复杂度分析

算法的时间复杂度由排序操作和遍历操作两部分构成，具体分析如下：

1. 排序操作：代码中使用sort函数对n个区间排序，C++的sort函数底层平均情况下为快速排序、最坏情况下为归并排序，时间复杂度均为O(n log n)，是算法的主导时间复杂度；
2. 遍历操作：排序后通过for循环遍历n个区间，每个区间仅执行一次比较和可能的赋值操作，时间复杂度为O(n)；
3. 总时间复杂度：根据渐进时间复杂度规则，忽略低阶项O(n)，算法的总时间复杂度为O(n log n)（平均情况与最坏情况一致）。

五、对贪心算法的核心理解

贪心算法是一种启发式算法（多数场景下可得到最优解），其核心思想是：每一步决策仅聚焦当前局部最优选择，不预先考虑全局最优，期望通过一系列局部最优决策最终达成全局最优解。

贪心算法的核心特性

1. 贪心选择性质：全局最优解可通过局部最优选择逐步构造，这是贪心算法能得到最优解的前提——若不满足该性质，贪心算法仅能得到近似解；
2. 最优子结构性质：问题的全局最优解包含其子问题的最优解，这是贪心算法与动态规划的共同前提。二者的区别在于：动态规划会记录子问题的所有解并筛选最优，而贪心算法仅依据局部信息选择一个子问题继续求解，无需回溯。

贪心算法的核心特点

1. 无回溯性：每一步选择一旦确定便不可更改，后续决策仅依赖当前局部状态，不涉及之前的决策历史，这使得贪心算法的时间复杂度通常远低于动态规划；
2. 场景依赖性：贪心算法并非通用解法，其有效性高度依赖问题本身。例如，活动选择问题（结束时间最早策略）、哈夫曼编码（权重最小合并策略）、Dijkstra最短路径算法（距离起点最近策略）等满足贪心选择性质，可得到最优解；而0-1背包问题不满足该性质，贪心算法仅能得到近似解（完全背包问题可适用贪心）；
3. 策略多样性：同一可通过贪心解决的问题可能存在多种贪心策略，但仅满足贪心选择性质的策略能得到全局最优解。例如活动选择问题中，“结束时间最早”是有效策略，而“开始时间最早”“区间长度最短”等策略均无法得到最优解。

贪心算法与其他算法的区别

• 与动态规划相比：贪心算法无回溯、无状态记录，时间复杂度更低，但仅适用于满足贪心选择性质的问题；动态规划通过记录子问题状态并回溯，适用范围更广，但时间复杂度更高；
• 与暴力算法相比：贪心算法通过局部最优剪枝大幅缩减搜索空间，时间复杂度显著降低；而暴力算法需枚举所有可能情况，时间复杂度通常为指数级。

总结

1. 本代码针对活动选择问题（选点问题），采用“选择结束时间最早的区间”这一贪心策略求解；
2. 该算法满足贪心选择性质，可通过局部最优决策构造全局最优解，时间复杂度为O(n log n)；
3. 贪心算法的核心是“以局部最优推导全局最优”，具备无回溯、高效率的特点，但其有效性依赖问题的贪心选择性质和最优子结构性质。